幂级数










无穷级数

ζ(s)=∑k=1∞1ks{displaystyle zeta (s)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{s}}}}zeta (s)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{s}}}


无穷级数










  • 查

  • 论

  • 编





蓝色曲线是指数函数，红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的前n+1项和的曲线


在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为：



f(x)=∑n=0∞an(x−c)n{displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}left(x-cright)^{n}}f(x)=sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}left(x-cright)^{n}

=a0+a1(x−c)1+a2(x−c)2+a3(x−c)3+⋯{displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+cdots }=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+cdots


其中的c和a0,a1,a2⋯an⋯{displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}cdots a_{n}cdots }a_{0},a_{1},a_{2}cdots a_{n}cdots 是常数。a0,a1,a2⋯an⋯{displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}cdots a_{n}cdots }a_{0},a_{1},a_{2}cdots a_{n}cdots 称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。


如果把(x−c){displaystyle (x-c)}(x-c)看成一项，那么幂级数可以化简为∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。


将一个函数写成幂级数∑n=0∞an(x−c)n{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}left(x-cright)^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}left(x-cright)^{n}的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。


幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源[1]。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为110{displaystyle {frac {1}{10}}}{frac {1}{10}}。在p-进数中则可以见到x被固定为10{displaystyle 10}10的幂级数。




目录






  • 1 例子


  • 2 敛散性


  • 3 幂级数的运算


  • 4 一致收敛性


  • 5 幂级数函数的求导和积分


  • 6 函数的幂级数展开


    • 6.1 函数的可展性


    • 6.2 常见函数的幂级数展开




  • 7 幂级数与解析函数


  • 8 形式幂级数


  • 9 多元幂级数


  • 10 参见


  • 11 参考来源


  • 12 參考文獻





例子


多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式f(x)=x2+2x+3{displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}f(x)=x^{2}+2x+3可以写成标准形式的幂级数：


f(x)=3+2x+1x2+0x3+0x4+⋯{displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+cdots }f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+cdots

也可以写成（c=1{displaystyle c=1}c=1）：


f(x)=6+4(x−1)+1(x−1)2+0(x−1)3+0(x−1)4+⋯{displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+cdots }f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+cdots

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。


等比级数的公式给出了对|x|<1{displaystyle |x|<1}|x|<1，有




11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯{displaystyle {frac {1}{1-x}}=sum _{n=0}^{infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots }{frac {1}{1-x}}=sum _{{n=0}}^{infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots ，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯,{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots ,}e^{x}=sum _{{n=0}}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots ,


以及正弦函数（对所有实数x成立）：


sin⁡(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−x77!+⋯,{displaystyle sin(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots ,}sin(x)=sum _{{n=0}}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots ,

这些幂级数都属于泰勒级数。


幂级数里不包括负的幂次。例如1+x−1+x−2+⋯{displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+cdots }1+x^{{-1}}+x^{{-2}}+cdots 就不是幂级数（它是一个洛朗级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数an{displaystyle a_{n}}a_{n}必须是和x无关，比如sin⁡(x)x+sin⁡(2x)x2+sin⁡(3x)x3+⋯{displaystyle sin(x)x+sin(2x)x^{2}+sin(3x)x^{3}+cdots ,}sin(x)x+sin(2x)x^{2}+sin(3x)x^{3}+cdots ,就不是一个幂级数。



敛散性


作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：



阿贝尔引理：给定一个幂级数∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}，如果对实数r0>0{displaystyle r_{0}>0}r_{0}>0，数列(|an|r0n)n≥0{displaystyle (|a_{n}|r_{0}^{n})_{ngeq 0}}(|a_{n}|r_{0}^{n})_{{ngeq 0}} 有界，那么对任意复数|x|<r0{displaystyle |x|<r_{0}}|x|<r_{0}，∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}绝对收敛。



证明：


如果|x|<r0{displaystyle |x|<r_{0}}|x|<r_{0}，那么由于数列(|an|r0n)n≥0{displaystyle (|a_{n}|r_{0}^{n})_{ngeq 0}}(|a_{n}|r_{0}^{n})_{{ngeq 0}} 有界，存在正实数M使得对任意的n，总有0≤|an|r0n≤M{displaystyle 0leq |a_{n}|r_{0}^{n}leq M}0leq |a_{n}|r_{0}^{n}leq M。所以：



∑n=0∞|anxn|=∑n=1∞(|an|r0n)⋅(|x|r0)n{displaystyle sum _{n=0}^{infty }|a_{n},x^{n}|=sum _{n=1}^{infty }left(|a_{n}|,r_{0}^{n}right)cdot left({frac {|x|}{r_{0}}}right)^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }|a_{n},x^{n}|=sum _{{n=1}}^{infty }left(|a_{n}|,r_{0}^{n}right)cdot left({frac {|x|}{r_{0}}}right)^{n}

  ≤∑n=0∞M⋅(|x|r0)n{displaystyle leq sum _{n=0}^{infty }Mcdot left({frac {|x|}{r_{0}}}right)^{n}} leq sum _{{n=0}}^{infty }Mcdot left({frac {|x|}{r_{0}}}right)^{n}

  =M⋅∑n=0∞(|x|r0)n{displaystyle =Mcdot sum _{n=0}^{infty }left({frac {|x|}{r_{0}}}right)^{n}} =Mcdot sum _{{n=0}}^{infty }left({frac {|x|}{r_{0}}}right)^{n}


正数比值|x|r0{displaystyle {frac {|x|}{r_{0}}}}{frac {|x|}{r_{0}}}严格小于1，因此上面的等比级数收敛，于是∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}绝对收敛。




按照引理，使得幂级数∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是：



  1. 要么对所有的非零复数，∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}都发散；

  2. 要么存在一个正常数（包括正无穷）R{displaystyle R}R，使得当|x|<R{displaystyle |x|<R}|x|<R时，∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}绝对收敛，当|x|>R{displaystyle |x|>R}|x|>R时，∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}发散。


这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数R{displaystyle R}R被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。


按照定义，对一个幂级数∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}，当|x|<R{displaystyle |x|<R}|x|<R（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当|x|>R{displaystyle |x|>R}|x|>R时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果|x|=R{displaystyle |x|=R}|x|=R（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。


根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R{displaystyle R}R满足：如果幂级数∑anxn{displaystyle sum a_{n}x^{n}}sum a_{n}x^{n}满足limn→∞an+1an=ρ{displaystyle lim _{nto infty }{a_{n+1} over a_{n}}=rho }lim _{nto infty }{a_{n+1} over a_{n}}=rho ，则：







ρ{displaystyle rho }rho 是正实数时，R=1ρ{displaystyle R={1 over rho }}R={1 over rho }。

ρ=0{displaystyle rho =0}rho =0时，R=∞{displaystyle R=infty }R=infty 。

ρ=∞{displaystyle rho =infty }rho =infty 时，R=0{displaystyle R=0}R=0。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：



R=lim infn→∞|an|−1n{displaystyle R=liminf _{nto infty }left|a_{n}right|^{-{frac {1}{n}}}}R=liminf_{ntoinfty} left|a_nright|^{-frac{1}{n}}

或者1R=lim supn→∞|an|1n{displaystyle {frac {1}{R}}=limsup _{nto infty }left|a_{n}right|^{frac {1}{n}}}frac{1}{R}=limsup_{ntoinfty} left|a_nright|^{frac{1}{n}}。



幂级数的运算


形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。


(a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯)±(b0+b1x+b2x2+⋯+bnxn+⋯)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+⋯+(an+bn)xn+⋯{displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots +a_{n}x^{n}+cdots )pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+cdots +b_{n}x^{n}+cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+cdots }(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots +a_{n}x^{n}+cdots )pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+cdots +b_{n}x^{n}+cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+cdots

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积：



(∑n=0∞an(x−c)n)(∑n=0∞bn(x−c)n){displaystyle left(sum _{n=0}^{infty }a_{n}(x-c)^{n}right)left(sum _{n=0}^{infty }b_{n}(x-c)^{n}right)}left(sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}(x-c)^{n}right)left(sum _{{n=0}}^{infty }b_{n}(x-c)^{n}right)

=∑i=0∞∑j=0∞aibj(x−c)i+j{displaystyle =sum _{i=0}^{infty }sum _{j=0}^{infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}=sum _{{i=0}}^{infty }sum _{{j=0}}^{infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{{i+j}}


=∑n=0∞(∑i=0naibn−i)(x−c)n{displaystyle =sum _{n=0}^{infty }left(sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}right)(x-c)^{n}}=sum _{{n=0}}^{infty }left(sum _{{i=0}}^{n}a_{i}b_{{n-i}}right)(x-c)^{n}。


各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。



一致收敛性


对一个收敛半径为R的幂级数∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数



f:(−R,R)⟶R{displaystyle f:(-R,R)longrightarrow mathbb {R} }f:(-R,R)longrightarrow {mathbb {R}}

.      x⟼∑n=0∞anxn{displaystyle . xlongmapsto sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}. xlongmapsto sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}


它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。



幂级数函数的求导和积分


可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于∑n=0∞anxn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}x^{n}的收敛半径R。具体形式为：



f′(x)=∑n=1∞annxn−1=∑n=0∞an+1(n+1)xn{displaystyle f^{prime }(x)=sum _{n=1}^{infty }a_{n}nx^{n-1}=sum _{n=0}^{infty }a_{n+1}left(n+1right)x^{n}}f^{prime }(x)=sum _{{n=1}}^{infty }a_{n}nx^{{n-1}}=sum _{{n=0}}^{infty }a_{{n+1}}left(n+1right)x^{{n}}

∫f(x)dx=∑n=0∞anxn+1n+1+k=∑n=1∞an−1xnn+k{displaystyle int f(x),dx=sum _{n=0}^{infty }{frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+k=sum _{n=1}^{infty }{frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+k}int f(x),dx=sum _{{n=0}}^{infty }{frac {a_{n}x^{{n+1}}}{n+1}}+k=sum _{{n=1}}^{infty }{frac {a_{{n-1}}x^{{n}}}{n}}+k



函数的幂级数展开


鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点c附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数R>0，使得在复平面中以c为圆心以R为半径的圆D(c,R)内（不包括边界）有：


∀z∈D(c,R),f(z)=∑n=0+∞an(z−c)n{displaystyle forall zin D(c,R),qquad f(z)=sum _{n=0}^{+{infty }}a_{n}(z-c)^{n}}forall zin D(c,R),qquad f(z)=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}a_{n}(z-c)^{n}

其中an{displaystyle a_{n}}a_{n}为确定的常数。


如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（C∞{displaystyle C^{infty }}C^{{infty }}），并且在这点附近的展开式是唯一的。


∀n∈N,an=f(n)(c)n!{displaystyle forall nin mathbb {N} ,,a_{n}={f^{(n)}(c) over {n!}}}forall nin {mathbb {N}},,a_{n}={f^{{(n)}}(c) over {n!}}

即是在这点的泰勒展开的第n项的值。这时展开得到的幂级数称为函数f在c点的泰勒级数。



函数的可展性


对于一般的无穷可导函数f{displaystyle f}f，也可以写出幂级数∑n=0+∞f(n)(c)n!(x−c)n{displaystyle sum _{n=0}^{+{infty }}{f^{(n)}(c) over {n!}}(x-c)^{n}}sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{f^{{(n)}}(c) over {n!}}(x-c)^{n}，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于f{displaystyle f}f。例如函数f{displaystyle f}f：



当x>0时，f(x)=e−1/x2{displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}f(x)=e^{{-1/x^{2}}}

当x≤0{displaystyle xleq 0}xleq 0时，f(x)=0{displaystyle f(x)=0}f(x)=0


可以证明f{displaystyle f}f无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数∑n=0+∞f(n)(0)n!(x)n{displaystyle sum _{n=0}^{+{infty }}{f^{(n)}(0) over {n!}}(x)^{n}}sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{f^{{(n)}}(0) over {n!}}(x)^{n}恒等于0，不等于f{displaystyle f}f。


函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零：
Rn(x)=f(x)−∑n=0nf(n)(c)n!(x−c)n→0{displaystyle R_{n}(x)=f(x)-sum _{n=0}^{n}{f^{(n)}(c) over {n!}}(x-c)^{n}rightarrow 0}R_{n}(x)=f(x)-sum _{{n=0}}^{{n}}{f^{{(n)}}(c) over {n!}}(x-c)^{n}rightarrow 0，


一个更常用到的充分条件是：
如果存在正实数r，使得f{displaystyle f}f在区间(c−r,c+r){displaystyle (c-r,c+r)}(c-r,c+r)上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的n，任意的x∈(c−r,c+r){displaystyle xin (c-r,c+r)}xin (c-r,c+r)都有




|fn(x)|≤M{displaystyle |f^{n}(x)|leq M}|f^{n}(x)|leq M，那么f{displaystyle f}f可以在c附近展开成幂级数：


∀x∈(c−r,c+r),  f(x)=∑n=0+∞f(n)(c)n!(x−c)n{displaystyle forall xin (c-r,c+r), f(x)=sum _{n=0}^{+{infty }}{f^{(n)}(c) over {n!}}(x-c)^{n}}forall xin (c-r,c+r), f(x)=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{f^{{(n)}}(c) over {n!}}(x-c)^{n}。



常见函数的幂级数展开


以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。




  1. ∀x∈C,ex=∑n=0+∞xnn!.{displaystyle forall xin mathbb {C} ,,e^{x}=sum _{n=0}^{+{infty }}{frac {x^{n}}{n!}}.}forall xin {mathbb {C}},,e^{x}=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{{frac {x^{n}}{n!}}}.




  2. ∀x∈R,cos⁡x=∑n=0+∞(−1)nx2n(2n)!.{displaystyle forall xin mathbb {R} ,,cos x=sum _{n=0}^{+{infty }}(-1)^{n},{frac {x^{2,n}}{(2,n)!}}.}forall xin {mathbb {R}},,cos x=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}(-1)^{n},{{frac {x^{{2,n}}}{(2,n)!}}}.




  3. ∀x∈R,sin⁡x=∑n=0+∞(−1)nx2n+1(2n+1)!.{displaystyle forall xin mathbb {R} ,,sin x=sum _{n=0}^{+{infty }}(-1)^{n},{frac {x^{2,n+1}}{(2,n+1)!}}.}forall xin {mathbb {R}},,sin x=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}(-1)^{n},{{frac {x^{{2,n+1}}}{(2,n+1)!}}}.




  4. ∀x∈R,chx=∑n=0+∞x2n(2n)!.{displaystyle forall xin mathbb {R} ,,operatorname {ch} ,x=sum _{n=0}^{+{infty }}{frac {x^{2,n}}{(2,n)!}}.}forall xin {mathbb {R}},,operatorname {ch},x=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{{frac {x^{{2,n}}}{(2,n)!}}}.




  5. ∀x∈R,shx=∑n=0+∞x2n+1(2n+1)!.{displaystyle forall xin mathbb {R} ,,operatorname {sh} ,x=sum _{n=0}^{+{infty }}{frac {x^{2,n+1}}{(2,n+1)!}}.}forall xin {mathbb {R}},,operatorname {sh},x=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{{frac {x^{{2,n+1}}}{(2,n+1)!}}}.




  6. ∀x∈D(0,1),11−x=∑n=0+∞xn.{displaystyle forall xin D(0,1),,{1 over {1-x}}=sum _{n=0}^{+{infty }}{x^{n}}.}forall xin D(0,1),,{1 over {1-x}}=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{x^{n}}.




  7. ∀x∈(−1,1],ln⁡(1+x)=∑n=1+∞(−1)n+1xnn.{displaystyle forall xin (-1,1],,ln(1+x)=sum _{n=1}^{+{infty }}(-1)^{n+1}{x^{n} over {n}}.}forall xin (-1,1],,ln(1+x)=sum _{{n=1}}^{{+{infty }}}(-1)^{{n+1}}{x^{{n}} over {n}}.




  8. ∀x∈[−1,1],arctanx=∑n=0+∞(−1)nx2n+12n+1{displaystyle forall xin [-1,1],,arctan ,x=sum _{n=0}^{+{infty }}(-1)^{n},{frac {x^{2,n+1}}{2,n+1}};}forall xin [-1,1],,arctan ,x=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}(-1)^{n},{{frac {x^{{2,n+1}}}{2,n+1}}};，特别地，π=4∑n=0+∞(−1)n2n+1{displaystyle pi =4,sum _{n=0}^{+{infty }}{frac {(-1)^{n}}{2,n+1}}}pi =4,sum _{{n=0}}^{{+{infty }}}{{frac {(-1)^{{n}}}{2,n+1}}}。




  9. ∀x∈(−1,1), ∀α∉N,(1+x)α=1+∑n=1+∞α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn.{displaystyle forall xin ,(-1,1), forall alpha ,not in ,mathbb {N} ,,(1+x)^{alpha },=1;+;sum _{n=1}^{+{infty }}{{frac {alpha ,(alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}},x^{n}}.}forall xin ,(-1,1), forall alpha ,not in ,{mathbb {N}},,(1+x)^{alpha },=1;+;sum _{{n=1}}^{{+{infty }}}{{frac {alpha ,(alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}},x^{n}}.




  10. ∀x∈R,∀α∈N,(1+x)α=1+∑n=1+∞α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn=∑n=0α(αn)xn.{displaystyle forall xin mathbb {R} ,,forall alpha ,in ,mathbb {N} ,,(1+x)^{alpha },=1;+;sum _{n=1}^{+{infty }}{{frac {alpha ,(alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}},x^{n}}=sum _{n=0}^{alpha }{{alpha choose n},x^{n}}.}forall xin {mathbb {R}},,forall alpha ,in ,{mathbb {N}},,(1+x)^{alpha },=1;+;sum _{{n=1}}^{{+{infty }}}{{frac {alpha ,(alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}},x^{n}}=sum _{{n=0}}^{{alpha }}{{alpha choose n},x^{n}}.




  11. ∀x∈(−1,1),artanhx=∑n=0+∞x2n+12n+1.{displaystyle forall xin (-1,1),,operatorname {artanh} ,x=sum _{n=0}^{+{infty }},{frac {x^{2,n+1}}{2,n+1}}.}forall xin (-1,1),,operatorname {artanh},x=sum _{{n=0}}^{{+{infty }}},{{frac {x^{{2,n+1}}}{2,n+1}}}.




  12. ∀x∈(−1,1),arcsinx=x+∑n=1+∞(∏k=1n(2k−1)∏k=1n2k)x2n+12n+1{displaystyle forall xin (-1,1),,arcsin ,x=x+sum _{n=1}^{+{infty }},left({frac {prod _{k=1}^{n},(2,k-1)}{prod _{k=1}^{n},2,k}}right){frac {x^{2,n+1}}{2,n+1}}}forall xin (-1,1),,arcsin ,x=x+sum _{{n=1}}^{{+{infty }}},left({{frac {prod _{{k=1}}^{{n}},(2,k-1)}{prod _{{k=1}}^{{n}},2,k}}}right){{frac {x^{{2,n+1}}}{2,n+1}}}




  13. ∀x∈(−1,1),arsinhx=x+∑n=0+∞(−1)n(∏k=1n(2k−1)∏k=1n2k)x2n+12n+1{displaystyle forall xin (-1,1),,operatorname {arsinh} ,x=x+sum _{n=0}^{+{infty }},(-1)^{n},left({frac {prod _{k=1}^{n},(2,k-1)}{prod _{k=1}^{n},2,k}}right){frac {x^{2,n+1}}{2,n+1}}}forall xin (-1,1),,operatorname {arsinh},x=x+sum _{{n=0}}^{{+{infty }}},(-1)^{n},left({{frac {prod _{{k=1}}^{{n}},(2,k-1)}{prod _{{k=1}}^{{n}},2,k}}}right){{frac {x^{{2,n+1}}}{2,n+1}}}




  14. ∀x∈(−π2,π2), tan⁡x=2π∑n=0+∞(xπ)2n+1(22n+2−1)ζ(2n+2){displaystyle forall xin ,left(-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}right), tan x={frac {2}{pi }},sum _{n=0}^{+{infty }},{left({frac {x}{pi }}right)}^{2,n+1}(2^{2,n+2}-1);zeta (2,n+2)}forall xin ,left(-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}right), tan x={frac {2}{pi }},sum _{{n=0}}^{{+{infty }}},{left({{frac {x}{pi }}}right)}^{{2,n+1}}(2^{{2,n+2}}-1);zeta (2,n+2)，其中∀p>1,ζ(p)=∑n=1+∞1np{displaystyle forall p>1,,zeta (p)=sum _{n=1}^{+{infty }},{frac {1}{n^{p}}}}forall p>1,,zeta (p)=sum _{{n=1}}^{{+{infty }}},{frac {1}{n^{p}}}



幂级数与解析函数


主条目：解析函数

局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。



形式幂级数


主条目：形式幂级数

在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。



多元幂级数


幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：


f(x1,…,xn)=∑j1,…,jn=0∞aj1,…,jn∏k=1n(xk−ck)jk,{displaystyle f(x_{1},dots ,x_{n})=sum _{j_{1},dots ,j_{n}=0}^{infty }a_{j_{1},dots ,j_{n}}prod _{k=1}^{n}left(x_{k}-c_{k}right)^{j_{k}},}f(x_{1},dots ,x_{n})=sum _{{j_{1},dots ,j_{n}=0}}^{{infty }}a_{{j_{1},dots ,j_{n}}}prod _{{k=1}}^{n}left(x_{k}-c_{k}right)^{{j_{k}}},

其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有


f(x)=∑α∈Nnaα(x−c)α.{displaystyle f(x)=sum _{alpha in mathbb {N} ^{n}}a_{alpha }left(x-cright)^{alpha }.}f(x)=sum _{{alpha in {mathbb {N}}^{n}}}a_{{alpha }}left(x-cright)^{{alpha }}.


参见



  • 泰勒级数

  • 解析函数

  • 阿贝尔定理

  • 零点孤立原理



参考来源





  1. ^ 史济怀，组合恒等式，中国科学技术大学出版社，2001




參考文獻


.mw-parser-output .refbegin{font-size:90%;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul{list-style-type:none;margin-left:0}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li,.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>dl>dd{margin-left:0;padding-left:3.2em;text-indent:-3.2em;list-style:none}.mw-parser-output .refbegin-100{font-size:100%}


  • 幂级数介绍


  • 幂级数展开[永久失效連結]


  • 幂级数与泰勒展开[永久失效連結]

  • Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes

  • Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal

  • John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006









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Schooner

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For other uses, see Schooner (disambiguation). A traditional gaff topsail schooner Schooner rigging: 1 ) Bowsprit 2 ) Jib & fore staysail 3 ) Fore gaffsail & topsail 4 ) Main staysail 5 ) Main gaff topsail 6 ) Mainsail 7 ) End of boom A schooner / ˈ s k uː n ər / is a type of sailing vessel with fore-and-aft sails on two or more masts. The most common type has two masts, the foremast being shorter than the main. While the schooner was originally gaff-rigged, modern schooners typically carry a Bermuda rig. Contents 1 Etymology 2 History 3 Usage 4 Schooner sail plan 4.1 Schooner rationale 5 Multi-masted schooners 6 Famous schooners 7 Gallery 8 See also 9 References 10 External links Etymology Traditional square topsail schooner Shenandoah , sailing in Nantucket Sound. The first detailed definition of a schooner, describing the vessel as two-masted vessel with fore and aft gaff-rigged sails appeared in ...
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巴黎地鐵5號線

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巴黎地铁5號線 啟用年代 1906年 运营商 RATP 车型 MF 01 （ 法语 ： MF 01 ） (50辆) 车辆存放所 博比尼 路線站數 22 14.6公里 平均站距 697公尺 营运日 每日 年均載客量 86.1 巴黎地鐵5號線 （法语： Ligne 5 du métro de Paris ）為巴黎地鐵路網之一，於1906年通車。本線略呈"厂"字型，自巴黎東北方的博比尼起，向西南经巴黎北站、巴黎东站後轉南，经共和广场和巴士底，穿越塞纳河，最终訖於5、6、7三條地铁線交會的意大利广场。 目录 1 歷史 2 线路走向与車站列表 2.1 车站设施 2.2 车站曾用名 2.3 车站特色 3 使用車型 4 使用状况 5 未来计划 5.1 线路延伸 5.1.1 南延段 5.1.2 北环转乘站 6 周边主要旅游景点 7 外部連結 歷史 开通之初的奥斯特里茨车站 5号线穿越塞纳河的路径 关于巴黎地铁建设的想法源于1845年，铁路公司偏好利用连接郊区铁路网构建地铁；而市政府希望在市内新建不同系统的中小型铁路，双方争执数十年。直到巴黎交通状况持续恶化暨1900年世博会临近，最终市政府的计划被采用，而5号线即为巴黎地铁网络一期工程的一部分。 5号线通车的同时，4号线尚未南北贯通，故5号线实际上是巴黎第一条南北向穿越塞纳河的地铁。 1903年11月，用于5号线穿越塞纳河的奥斯特里茨铁桥开工建设，铁桥的设计长度仅有140米，以此避免在河中加装支撑柱来给过往船只带来不便。 1906年6月2日，義大利廣場站和奥斯特里茨车站（当时叫做奥尔良车站）之间的路段通車。同年7月13日，铁桥完工，线路从桥上穿越塞纳河，通过一个极大地弯角下陡坡，即 拉佩河边街铁桥 （ 法语 ： Viaduc du quai de la Rapée ） ，向北延伸至 拉佩河边街站 （ 法语 ： Quai de la Rapée (métro de Paris) ） （当时叫做马萨广场）。然而由于北部路段尚未完工，...
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