Brstjjy

在特殊函数中，合流超几何函数（confluent hypergeometric function）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：

• 
  Kummer 函数（第一类合流超几何函数）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数；


• 
  Tricomi 函数（第二类合流超几何函数）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 Ψ(a,b,z)；


• 
  Whittaker 函数 是 Whittaker 方程的解，Whittaker 方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关^{[注 1]}；

Kummer 方程

根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=₁F₁(a;b;z) 满足的微分方程为：

z(zddz+a)w=zddz(zddz+b−1)w{displaystyle zleft(z{frac {rm {d}}{{rm {d}}z}}+aright)w=z{frac {rm {d}}{{rm {d}}z}}left(z{frac {rm {d}}{{rm {d}}z}}+b-1right)w}.

展开后就得到 Kummer 方程^[1]，

zd2wdz2+(b−z)dwdz−aw=0{displaystyle z{frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} z}}-aw=0},

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

M(a,b,z)=1F1(a;b;z)=∑n=0∞(a)(n)(b)(n)znn!{displaystyle M(a,b,z)=,{}_{1}F_{1}(a;b;z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{frac {z^{n}}{n!}}}

式中 (a)⁽ⁿ⁾ 是升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形^[1]：

1F1(a;c;z)=limb→∞2F1(a,b;c;zb){displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=lim _{brightarrow infty },{}_{2}F_{1}(a,b;c;{tfrac {z}{b}})}

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

z1−c2F1(1+a−c,1+b−c;2−c;z){displaystyle z^{1-c},_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）：

z1−b1F1(1+a−b;2−b;z){displaystyle z^{1-b},_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合^[2]：

U(a,b,z)=Γ(1−b)Γ(a−b+1)M(a,b,z)+Γ(b−1)Γ(a)z1−bM(a−b+1,2−b,z).{displaystyle U(a,b,z)={frac {Gamma (1-b)}{Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{frac {Gamma (b-1)}{Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}

它与另一个广义超几何函数有下列关系^[3]：

U(a,b,z)=z−a⋅2F0(a,a−b+1;;−z−1){displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 ₂F₀ 对应的超几何级数视为渐近级数。

U(a,b,z)≈z−a⋅2F0(a,a−b+1;;−z−1),z→∞,|arg⁡z|<3π2{displaystyle U(a,b,z)approx z^{-a}cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),quad zrightarrow infty ,|arg z|<{frac {3pi }{2}}}

Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程

大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

(A+Bz)d2wdz2+(C+Dz)dwdz+(E+Fz)w=0{displaystyle (A+Bz){frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}

先将 A+Bz 用一个新的 z 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：

zd2wdz2+(C+Dz)dwdz+(E+Fz)w=0{displaystyle z{frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}

这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D²-4F)^-1/2z 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：

zd2wdz2+(C+DD2−4Fz)dwdz+(ED2−4F+FD2−4Fz)w=0{displaystyle z{frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+left(C+{frac {D}{sqrt {D^{2}-4F}}}zright){frac {dw}{dz}}+left({frac {E}{sqrt {D^{2}-4F}}}+{frac {F}{D^{2}-4F}}zright)w=0}

它的解为，

w(z)=exp⁡[−(1+DD2−4F)z2]f(z),f(z)=k1M(a,C,z)+k2U(a,C,z),a=(1+DD2−4F)C2−ED2−4F,k1,k2∈C{displaystyle w(z)=exp[-(1+{tfrac {D}{sqrt {D^{2}-4F}}}){tfrac {z}{2}}]f(z),quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),quad a=(1+{tfrac {D}{sqrt {D^{2}-4F}}}){tfrac {C}{2}}-{tfrac {E}{sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}in mathbb {C} }

李代数参数与 Whittaker 方程

Kummer 方程的李代数参数^{[注 1][3]}定义为

α=b−1,θ=2a−b,{displaystyle alpha =b-1,theta =2a-b,}

其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为

Fα,θ(z) and z−αF−α,θ(z){displaystyle F_{alpha ,theta }(z){text{ and }}z^{-alpha }F_{-alpha ,theta }(z)}

Whittaker 方程的形式为：

d2wdz2+(−14+κz+1/4−μ2z2)w=0.{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} z^{2}}}+left(-{frac {1}{4}}+{frac {kappa }{z}}+{frac {1/4-mu ^{2}}{z^{2}}}right)w=0.}

它的两个线性无关的解为 Whittaker 函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系^[1]：

Mκ,μ(z)=exp⁡(−z/2)zμ+12M(μ−κ+12,1+2μ;z){displaystyle M_{kappa ,mu }left(zright)=exp left(-z/2right)z^{mu +{tfrac {1}{2}}}Mleft(mu -kappa +{frac {1}{2}},1+2mu ;zright)}

Wκ,μ(z)=exp⁡(−z/2)zμ+12U(μ−κ+12,1+2μ;z){displaystyle W_{kappa ,mu }left(zright)=exp left(-z/2right)z^{mu +{tfrac {1}{2}}}Uleft(mu -kappa +{frac {1}{2}},1+2mu ;zright)}

注意到

Mκ,μ(z)=exp⁡(−z/2)zμ+12F2μ,−2κ(z){displaystyle M_{kappa ,mu }left(zright)=exp left(-z/2right)z^{mu +{tfrac {1}{2}}}F_{2mu ,-2kappa }(z)}

故 Whittaker 方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。

积分表示

合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：

B(a,c−a)2F1(a,b;c;zb)=∫1∞tb−c(t−1)c−a−1(t−zb)−bdt=∫1∞t−c(t−1)c−a−1(1−zbt)−bdt,ℜ(c)>ℜ(a)>0,|arg⁡(1−zb)|<π{displaystyle mathrm {B} (a,c-a),{}_{2}F_{1}(a,b;c;{tfrac {z}{b}})=int _{1}^{infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{tfrac {z}{b}})^{-b}mathrm {d} t=int _{1}^{infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{tfrac {z}{bt}})^{-b}mathrm {d} t,Re (c)>Re (a)>0,|arg(1-{tfrac {z}{b}})|<pi }

式中的 Β 是beta函数。

两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示^[3]：

B(a,c−a)1F1(a;c;z)=∫1∞t−c(t−1)c−a−1eztdt,ℜ(c)>ℜ(a)>0{displaystyle mathrm {B} (a,c-a),{}_{1}F_{1}(a;c;z)=int _{1}^{infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{tfrac {z}{t}}mathrm {d} t,Re (c)>Re (a)>0}

第二类合流超几何函数的积分表示为^[3]：

Γ(a)U(a,b,z)=∫0∞e−ztta−1(1+t)b−a−1dt,ℜ(a)>0{displaystyle Gamma (a)U(a,b,z)=int _{0}^{infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1},dt,quad Re (a)>0}

变换公式

高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：

2F1(a,b;c;zb)=(1−zb)−b2F1(c−a,b;c;1bbzz−b),|arg⁡(1−zb)|<π{displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;{tfrac {z}{b}})=(1-{tfrac {z}{b}})^{-b},{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{tfrac {1}{b}}{tfrac {bz}{z-b}}),quad |arg(1-{tfrac {z}{b}})|<pi }

两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式^[2]：

1F1(a;c;z)=ez1F1(c−a;c;−z){displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=e^{z},{}_{1}F_{1}(c-a;c;-z)}

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为^[2]：

U(a,b,z)=z1−bU(1+a−b,2−b,z){displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}Uleft(1+a-b,2-b,zright)}.

特殊情形

很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

柱函数

第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为^[1]：

Iν(z)=zν2νezΓ(ν+1)M(ν+12,2ν+1,z){displaystyle I_{nu }(z)={frac {z^{nu }}{2^{nu }e^{z}Gamma (nu +1)}}M(nu +{frac {1}{2}},2nu +1,z)}

Kν(z)=π(2z)νe−zU(ν+12,2ν+1,z){displaystyle K_{nu }(z)={sqrt {pi }}(2z)^{nu }e^{-z}U(nu +{frac {1}{2}},2nu +1,z)}

Γ, 误差函数

不完全伽玛函数可以表示为^[1]：

γ(a,z)=zaaM(a,a+1,−z),a∉Z0−{displaystyle gamma (a,z)={frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),quad anotin mathbb {Z} _{0}^{-}}

Γ(a,z)=e−zU(1−a,1−a,z){displaystyle Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}

误差函数可以表示为^[1]：

erf⁡(z)=2zπM(12,32,−z2){displaystyle operatorname {erf} (z)={frac {2z}{sqrt {pi }}}M({frac {1}{2}},{frac {3}{2}},-z^{2})}

正交多项式及相关函数

拉盖尔函数可以表示为^[1]：

Ln(α)(z)=(n+αn)M(−n,α+1,z),α∉Z−{displaystyle L_{n}^{(alpha )}(z)={n+alpha choose n}M(-n,alpha +1,z),quad alpha notin mathbb {Z} ^{-}}

其中的二项式系数用贝塔函数来定义。

（物理学上的）厄米多项式可以表示为^[1]：

Hn(z)=2nU(−n2,12,z2),n∈Z0+,ℜ(z)>0{displaystyle H_{n}(z)=2^{n}U(-{frac {n}{2}},{frac {1}{2}},z^{2}),quad nin mathbb {Z} _{0}^{+},Re (z)>0}

注

1. 
   ^ ^1.01.1 关于李代数参数，详见超几何函数
   

参考文献

1. 
   ^ ^{1.01.11.21.31.41.51.61.7} 吴崇试. 17. 数学物理方法（第二版）. 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199. 
   


2. 
   ^ ^2.02.12.2 Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数, (编) Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
   


3. 
   ^ ^3.03.13.23.3 Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113. 
   

• 
  Chistova, E.A., c/c024700, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• 
  Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756. 
  


• 
  Kummer, Ernst Eduard. De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1837, 17: 228–242. ISSN 0075-4102. doi:10.1515/crll.1837.17.228 （拉丁语）. 
  


• 
  Slater, Lucy Joan. Confluent hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1960. MR 0107026. 
  


• 
  Tricomi, Francesco G. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, 26: 141–175. ISSN 0003-4622. MR 0029451. doi:10.1007/bf02415375 （意大利语）. 
  


• 
  Tricomi, Francesco G. Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche 1. Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 （意大利语）. 
  

外部链接

• Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数
  


• Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数