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在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的 期望值 （或 数学期望 、或 均值 ，亦简称 期望 ，物理学中称为 期待值 ）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能狀態平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的數。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合裡。） 例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次「點數」的期望值是3.5，计算如下： E⁡ (X)=1⋅ 16+2⋅ 16+3⋅ 16+4⋅ 16+5⋅ 16+6⋅ 16=1+2+3+4+5+66=3.5{displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} (X)&=1cdot {frac {1}{6}}+2cdot {frac {1}{6}}+3cdot {frac {1}{6}}+4cdot {frac {1}{6}}+5cdot {frac {1}{6}}+6cdot {frac {1}{6}}\[6pt]&={frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5end{aligned}}} 不過如上所說明的，3.5雖是「點數」的期望值，但卻不属于可能结果中的任一个，沒有可能擲出此點數。 赌博是期望值的一种常见应用。例如，美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。考虑到38种所有的可能结果，然後這裡我們的設定的期望目標是「贏錢」，則因此，討論贏或輸兩種預想狀態的話，以1美元赌注押一个数字上，則获利的期望值为：贏的「概率38分之1，能獲得35元」，加上“輸1元的情況37種”，结果约等于-0.0526美元。也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉0.0526美分，即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为 負0.0526美元 。 数学定义 如果 X{displaystyle X} 是在概率空间 (Ω ,F,P){displaystyle (Omega ,F,P)} 中的随

以盒状图与概率密度函数展示的正态分布 N (0,  σ 2 ) . 在数学中，连续型随机变量的 概率密度函數 （在不至于混淆时可以简称为 密度函数 ）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。圖中，橫軸為隨機變量的取值，縱軸為概率密度函數的值，而随机变量的取值落在某个区域内的概率為概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累積分佈函數是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以大写“ PDF ”（ P robability D ensity F unction ）標记 [1] 。 概率密度函数有时也被称为概率分布函数，但这种称法可能会和累积分布函数或概率质量函数混淆。 目录 1 常见定义 1.1 性质 2 例子 3 应用 4 特征函数 5 参考文献 5.1 引用 5.2 书籍 6 参见 常见定义 对于一维实随机变量 X ，设它的累积分布函数是 FX(x){displaystyle F_{X}(x)} 。如果存在可测函数 fX(x){displaystyle f_{X}(x)} ，满足： ∀ − ∞ <a<∞ ,FX(a)=∫ − ∞ afX(x)dx{displaystyle forall -infty <a<infty ,quad F_{X}(a)=int _{-infty }^{a}f_{X}(x),dx} 那么 X 是一个连续型随机变量，并且 fX(x){displaystyle f_{X}(x)} 是它的概率密度函数。 [2] 性质 连续型随机变量的概率密度函数有如下性质： ∀ − ∞ <x<∞ ,fX(x)≥ 0{displaystyle forall -infty <x<infty ,quad f_{X}(x)geq 0} ∫ − ∞ ∞ fX(x)dx=1{displaystyle int _{-infty }^{infty }f_{X}(x),dx=1} ∀ − ∞ <a<b<∞ ,P[a<X≤ b]=FX(b)− FX(a)=∫ abfX(x)dx{displaystyle fo