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在数学中，阶乘幂是基于连续数列积的一种运算。

定义

阶乘幂通常有两种形式：上升阶乘幂与下降阶乘幂。阶乘幂有多种书写方式。由Leo August Pochhammer（英语：Leo August Pochhammer）引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种。为了区分这两种阶乘幂，  x(n){displaystyle x^{(n)}} 与  (x)n{displaystyle (x)_{n}} 被用来分别表示上升阶乘幂与下降阶乘幂。

上升阶乘幂

在特殊函数理论中常用的阶乘幂是上升阶乘幂用于表达上升数列的积。上升阶乘幂的定义为：

(x)(n)=x(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)=(x+n−1)!(x−1)!{displaystyle (x)^{(n)}=x(x+1)(x+2)cdots (x+n-1)={frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}

下降阶乘幂

在组合数学中（Olver 1999，p.101）也常用下降阶乘幂

(x)n=x(x−1)(x−2)⋯(x−n+1)=x!(x−n)!{displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)cdots (x-n+1)={frac {x!}{(x-n)!}}}

另外，值得一提的是下降阶乘幂实际上是排列 P(x,n){displaystyle P(x,n),}(详见排列).

两者的关系

上升阶乘幂与下降阶乘幂，两者之间的关系为：

(−x)(n)=(−1)n(x)n {displaystyle (-x)^{(n)}=(-1)^{n}(x)_{n} }

其中，等号左边为上升阶乘幂，而右边为下降阶乘幂。

阶乘幂与阶乘的关系为：

(1)(n)=(n)n=n! {displaystyle (1)^{(n)}=(n)_{n}=n! }

其他常用符号

在数学中，阶乘幂还有其他的书写方式。葛立恒(Ronald L. Graham), 高德纳(Donald E. Knuth) 与 Oren Patashnik 在《具体数学》一书中定义上升阶乘幂为：

xn¯=(x+n−1)!(x−1)!{displaystyle x^{overline {n}}={frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}

而他们则定义下降阶乘幂为:

xn_=x!(x−n)!{displaystyle x^{underline {n}}={frac {x!}{(x-n)!}}}

另一种常见的上升阶乘幂的写法是:

[f(x)]k/h=f(x)⋅f(x+h)⋅f(x+2h)⋯f(x+(k−1)h){displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)cdot f(x+h)cdot f(x+2h)cdots f(x+(k-1)h)}

其中 h 是递增公差，而k 是数列长度。下降阶乘幂则写作:

[f(x)]k/−h=f(x)⋅f(x−h)⋅f(x−2h)⋯f(x−(k−1)h){displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)cdot f(x-h)cdot f(x-2h)cdots f(x-(k-1)h)}

一种较为少见的写法将上升阶乘幂 (x)⁽ⁿ⁾ 写作 (x)⁺_(n)

属性

二项式属性

零次的上升阶乘幂与下降阶乘幂，x⁽⁰⁾ 与 (x)₍₀₎， 都定义为1。
上升阶乘幂与下降阶乘幂都能以二项式系数形式表达：

(x)(n)n!=(x+n−1n)and(x)nn!=(xn).{displaystyle {frac {(x)^{(n)}}{n!}}={x+n-1 choose n}quad {mbox{and}}quad {frac {(x)_{n}}{n!}}={x choose n}.}

于是二项式系数适用的许多性质都适用于阶乘幂。

显然，阶乘幂作为n个连续整数的积，它定能被n整除。同时，当n≥4时 阶乘幂必定能表达为一个完全平方数减1。

上升阶乘幂与下降阶乘幂遵从一个类似二项式定理的规则:

(a+b)(n)=∑j=0n(nj)(a)(n−j)(b)(j){displaystyle (a+b)^{(n)}=sum _{j=0}^{n}{n choose j}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}}

(a+b)n=∑j=0n(nj)(a)n−j(b)j{displaystyle (a+b)_{n}=sum _{j=0}^{n}{n choose j}(a)_{n-j}(b)_{j}}

其中待定系数为二项式系数。

显然 (a)⁽ⁿ⁾ = (a + n − 1)_n

因为下降阶乘幂是多项式环的基础，我们可以将下降阶乘幂的积表示为下降阶乘幂的线性组合：

xm_xn_=∑k=0m(mk)(nk)k!xm+n−k_{displaystyle x^{underline {m}}x^{underline {n}}=sum _{k=0}^{m}{m choose k}{n choose k}k!,x^{underline {m+n-k}}}

等式右边的系数则为二项式系数。

实数幂

如果x{displaystyle x,}与x+n{displaystyle x+n,}都不是负数，阶乘幂的指数n{displaystyle n,}可以扩展到实数集合。
運用伽玛函数，上升阶乘幂的定义變為：

(x)(n)=Γ(x+n)Γ(x){displaystyle (x)^{(n)}={frac {Gamma (x+n)}{Gamma (x)}}}

下降阶乘幂则为:

(x)n=Γ(x+1)Γ(x−n+1){displaystyle (x)_{n}={frac {Gamma (x+1)}{Gamma (x-n+1)}}}

阶乘幂与亚微积分

差分方程里常使用下降阶乘幂。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，下降阶乘幂(x)_k 替代微分中的 x^k. 例如：

Δxk_=kxk−1_{displaystyle Delta x^{underline {k}}=kx^{underline {k-1}},}

与

∂xk/∂x=kxk−1{displaystyle partial {x^{k}}/partial x=kx^{k-1},}

这种相似性在数学中称为 亚微积分。 亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列.

参考文献

• 
  Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .


• 
  Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .