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无穷级数

ζ(s)=∑k=1∞1ks{displaystyle zeta (s)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{s}}}}

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查 论 编

比值审敛法是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（D'Alembert's test）。

定理

设∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}为正项级数，其中每一項皆為非 0 的實數或複數，如果

limn→∞|un+1un|=ρ{displaystyle lim _{nto infty }left|{frac {u_{n+1}}{u_{n}}}right|=rho }，

• 当ρ<1时级数收敛


• 当ρ>1时级数发散


• 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

例子

收敛

考虑级数

∑n=1∞nen{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {n}{e^{n}}}}

limn→∞|an+1an|=limn→∞|n+1en+1nen|=limn→∞|n+1en+1⋅enn|=limn→∞|n+1n⋅enen⋅e|=limn→∞|(1+1n)⋅1e|=1⋅1e=1e<1.{displaystyle {begin{aligned}lim _{nto infty }left|{frac {a_{n+1}}{a_{n}}}right|&=lim _{nto infty }left|{frac {frac {n+1}{e^{n+1}}}{frac {n}{e^{n}}}}right|\&=lim _{nto infty }left|{frac {n+1}{e^{n+1}}}cdot {frac {e^{n}}{n}}right|\&=lim _{nto infty }left|{frac {n+1}{n}}cdot {frac {e^{n}}{e^{n}cdot e}}right|\&=lim _{nto infty }left|left(1+{frac {1}{n}}right)cdot {frac {1}{e}}right|\&=1cdot {frac {1}{e}}={frac {1}{e}}<1.end{aligned}}}

因此该级数收敛。

发散

考虑级数

∑n=1∞enn{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {e^{n}}{n}}}

limn→∞|an+1an|{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|{frac {a_{n+1}}{a_{n}}}right|}	=limn→∞|en+1n+1enn|{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|{frac {frac {e^{n+1}}{n+1}}{frac {e^{n}}{n}}}right|}
	=limn→∞|en+1n+1⋅nen|{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|{frac {e^{n+1}}{n+1}}cdot {frac {n}{e^{n}}}right|}
	=limn→∞|nn+1⋅en⋅een|{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|{frac {n}{n+1}}cdot {frac {e^{n}cdot e}{e^{n}}}right|}
	=limn→∞|(1−1n+1)⋅e|{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|(1-{frac {1}{n+1}})cdot eright|}
	=1⋅e{displaystyle 1cdot e}
	=e(>1){displaystyle !,e(>1)}

因此该级数发散。

不能确定

级数

∑n=1∞1{displaystyle sum _{n=1}^{infty }1}

发散，但

limn→∞|11|=1.{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|{frac {1}{1}}right|=1.}

而级数

∑n=1∞1n2{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}}

收敛，但

limn→∞|1(n+1)21n2|=1.{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|{frac {frac {1}{(n+1)^{2}}}{frac {1}{n^{2}}}}right|=1.}

参见

• 根值审敛法


• 比较审敛法