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  本文介紹的是高斯超几何函数 ₂F₁。關於超几何函数 _pF_q，請見「广义超几何函数」。

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点（英语：Regular singular point）的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数

当c{displaystyle c}不是0,-1,-2...时，对于|z| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义

2F1(a,b;c;z)=∑n=0∞a(n)b(n)c(n)znn!{displaystyle ,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=sum _{n=0}^{infty }{a^{(n)}b^{(n)} over c^{(n)}},{z^{n} over n!}}

其中  x(n){displaystyle x^{(n)}} 是Pochhammer符号，定义为:

q(n)={1if n=0q(q+1)⋯(q+n−1)if n>0{displaystyle q^{(n)}=left{{begin{array}{ll}1&{mbox{if }}n=0\q(q+1)cdots (q+n-1)&{mbox{if }}n>0end{array}}right.}

当a或b是0或负整数时级数只有有限项。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。

特殊情形

很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

ln⁡(1+z)=z2F1(1,1;2;−z){displaystyle ln(1+z)=z,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)}.

(1−z)−a=2F1(a,1;1;z){displaystyle (1-z)^{-a}=,_{2}F_{1}(a,1;1;z)}

arcsin⁡z=z2F1(12,12;32;z2){displaystyle arcsin z=z,_{2}F_{1}left({tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{2}};{tfrac {3}{2}};z^{2}right)}

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下

M(a,c,z)=limb→∞2F1(a,b;c;b−1z){displaystyle M(a,c,z)=lim _{brightarrow infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}

因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

2F1(a,1−a;c;z)=Γ(c)z1−c2(1−z)c−12P−a1−c(1−2z){displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=Gamma (c)z^{tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}

很多多项式，例如贾可比多项式 P(α,β)
n及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

2F1(−n,α+1+β+n;α+1;x)=n!(α+1)nPn(α,β)(1−2x){displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,alpha +1+beta +n;alpha +1;x)={frac {n!}{(alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(alpha ,beta )}(1-2x)}
其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式。

椭圆模函数（英语：Elliptic modular function）有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若

τ=i2F1(12,12;1;1−z)2F1(12,12;1;z){displaystyle tau ={rm {i}}{frac {{}_{2}F_{1}({frac {1}{2}},{frac {1}{2}};1;1-z)}{{}_{2}F_{1}({frac {1}{2}},{frac {1}{2}};1;z)}}}

则

z=κ2(τ)=θ2(τ)4θ3(τ)4{displaystyle z=kappa ^{2}(tau )={frac {theta _{2}(tau )^{4}}{theta _{3}(tau )^{4}}}}

是τ的椭圆模函数.

不完整的beta函数 B_x(p,q) 表示成

Bx(p,q)=xpp2F1(p,1−q;p+1;x){displaystyle B_{x}(p,q)={frac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}

完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出

K(k)=π22F1(12,12;1;k2){displaystyle K(k)={tfrac {pi }{2}},_{2}F_{1}left({tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{2}};1;k^{2}right)}

E(k)=π22F1(−12,12;1;k2){displaystyle E(k)={tfrac {pi }{2}},_{2}F_{1}left(-{tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{2}};1;k^{2}right)}

超几何方程

超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)

z(zddz+a)(zddz+b)w=zddz(zddz+c−1)w,w(z)=2F1(a,b;c;z){displaystyle zleft(z{frac {rm {d}}{{rm {d}}z}}+aright)left(z{frac {rm {d}}{{rm {d}}z}}+bright)w=z{frac {rm {d}}{{rm {d}}z}}left(z{frac {rm {d}}{{rm {d}}z}}+c-1right)w,quad w(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}.

展开后，得

z(1−z)d2wdz2+[c−(a+b+1)z]dwdz−abw=0.{displaystyle z(1-z){frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} z^{2}}}+left[c-(a+b+1)zright]{frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} z}}-abw=0.}

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解

超几何方程的指标方程（英语：Frobenius method）为

ρ(ρ−1)+cρ=0{displaystyle rho (rho -1)+crho =0}

它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。

当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

2F1(a,b;c;z) and z1−c2F1(1+a−c,1+b−c;2−c;z){displaystyle ,_{2}F_{1}(a,b;c;z){text{ and }}z^{1-c},_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}

当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数：

2F1(a,b;c;z) and G2,22,0(1−a,1−b;0,c−1;z), if c∈Z+{displaystyle ,_{2}F_{1}(a,b;c;z){text{ and }},G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),{text{ if }}cin mathbb {Z} ^{+}}

z1−c2F1(1+a−c,1+b−c;2−c;z) and G2,22,0(1−a,1−b;0,1−c;z), if c∈Z0−{displaystyle ,z^{1-c},_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){text{ and }},G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),{text{ if }}cin mathbb {Z} _{0}^{-}}

正则奇点 1 附近的解

只需作代换 t=1-z，方程变为：

t(1−t)d2wdt2+[1+a+b−c−(a+b+1)t]dwdt−abw=0.{displaystyle t(1-t){frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+left[1+a+b-c-(a+b+1)tright]{frac {dw}{dt}}-abw=0.}

当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

2F1(a,b;1+a+b−c;1−z) and (1−z)c−a−b2F1(c−b,c−a;1−a−b+c;1−z){displaystyle ,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){text{ and }}(1-z)^{c-a-b},_{2}F_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)}

正则奇点 ∞ 附近的解

当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

z−a2F1(a,1+a−c;1+a−b;z−1) and z−b2F1(b,1+b−c;1+b−a;z−1).{displaystyle z^{-a},_{2}F_{1}left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}right){text{ and }}z^{-b},_{2}F_{1}left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}right).}

李代数参数与连接关系

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数^[1]会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

Fα,β,μ(z)=2F1(a,b;c;z){displaystyle F_{alpha ,beta ,mu }(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}

α=c−1,β=a+b−c,μ=b−a{displaystyle alpha =c-1,beta =a+b-c,mu =b-a}

a=1+α+β−μ2,b=1+α+β+μ2,c=1+α{displaystyle a={frac {1+alpha +beta -mu }{2}},b={frac {1+alpha +beta +mu }{2}},c=1+alpha }

参数 α,β,γ 称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

At 0:Fα,β,μ(z) and z−αF−α,β,−μ(z){displaystyle {text{At }}0:F_{alpha ,beta ,mu }(z){text{ and }}z^{-alpha }F_{-alpha ,beta ,-mu }(z)}

At 1:Fβ,α,μ(1−z) and (1−z)−βF−β,α,−μ(1−z){displaystyle {text{At }}1:F_{beta ,alpha ,mu }(1-z){text{ and }}(1-z)^{-beta }F_{-beta ,alpha ,-mu }(1-z)}

At ∞:(−z)−1−α−β+μ2F−μ,β,−α(z−1) and (−z)−1−α−β−μ2Fμ,β,α(z−1){displaystyle {text{At }}infty :(-z)^{frac {-1-alpha -beta +mu }{2}}F_{-mu ,beta ,-alpha }(z^{-1}){text{ and }}(-z)^{frac {-1-alpha -beta -mu }{2}}F_{mu ,beta ,alpha }(z^{-1})}

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：

G(m;n,p)=πsin⁡mπΓ(n)Γ(p)=G(m;p,n){displaystyle G(m;n,p)={frac {pi }{sin mpi Gamma (n)Gamma (p)}}=G(m;p,n)}

Fα,β,μ(z)=1Γ(1+α)Fα,β,μ(z){displaystyle mathbf {F} _{alpha ,beta ,mu }(z)={frac {1}{Gamma (1+alpha )}}F_{alpha ,beta ,mu }(z)}

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

Fβ,α,μ(1−z)=G(−α;a−α,b−α)Fα,β,μ(z)+G(α;a,b)z−αF−α,β,−μ(z),{displaystyle mathbf {F} _{beta ,alpha ,mu }(1-z)=G(-alpha ;a-alpha ,b-alpha )mathbf {F} _{alpha ,beta ,mu }(z)+G(alpha ;a,b)z^{-alpha }mathbf {F} _{-alpha ,beta ,-mu }(z),}

(1−z)−βF−β,α,−μ(1−z)=G(−α;1−a,1−b)Fα,β,μ(z)+G(α;b−β,a−β)z−αF−α,β,−μ(z)=G(−α;1−a,1−b)Fα,β,μ(z)+G(α;1−(a−α),1−(b−α))z−αF−α,β,−μ(z);{displaystyle {begin{array}{rcl}(1-z)^{-beta }mathbf {F} _{-beta ,alpha ,-mu }(1-z)&=&G(-alpha ;1-a,1-b)mathbf {F} _{alpha ,beta ,mu }(z)+G(alpha ;b-beta ,a-beta )z^{-alpha }mathbf {F} _{-alpha ,beta ,-mu }(z)\&=&G(-alpha ;1-a,1-b)mathbf {F} _{alpha ,beta ,mu }(z)+G(alpha ;1-(a-alpha ),1-(b-alpha ))z^{-alpha }mathbf {F} _{-alpha ,beta ,-mu }(z);end{array}}}

(−z)−aF−μ,β,−α(z−1)=G(−α;1−b,a−α)Fα,β,μ(z)+G(α;a,a−β)z−αF−α,β,−μ(z),{displaystyle (-z)^{-a}mathbf {F} _{-mu ,beta ,-alpha }(z^{-1})=G(-alpha ;1-b,a-alpha )mathbf {F} _{alpha ,beta ,mu }(z)+G(alpha ;a,a-beta )z^{-alpha }mathbf {F} _{-alpha ,beta ,-mu }(z),}

(−z)−bFμ,β,α(z−1)=G(−α;1−a,b−α)Fα,β,μ(z)+G(α;b,b−β)z−αF−α,β,−μ(z)=G(−α;1−a,1−(a−β))Fα,β,μ(z)+G(α;b,1−(a−α))z−αF−α,β,−μ(z).{displaystyle {begin{array}{rcl}(-z)^{-b}mathbf {F} _{mu ,beta ,alpha }(z^{-1})&=&G(-alpha ;1-a,b-alpha )mathbf {F} _{alpha ,beta ,mu }(z)+G(alpha ;b,b-beta )z^{-alpha }mathbf {F} _{-alpha ,beta ,-mu }(z)\&=&G(-alpha ;1-a,1-(a-beta ))mathbf {F} _{alpha ,beta ,mu }(z)+G(alpha ;b,1-(a-alpha ))z^{-alpha }mathbf {F} _{-alpha ,beta ,-mu }(z).end{array}}}

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示

B(a,c−a)2F1(a,b;c;z)=∫1∞tb−c(t−1)c−a−1(t−z)−bdt,ℜ(c)>ℜ(a)>0,|arg⁡(1−z)|<π{displaystyle mathrm {B} (a,c-a){}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=int _{1}^{infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}mathrm {d} t,Re (c)>Re (a)>0,|arg(1-z)|<pi }

式中的 Β 是beta函数。

证明

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设

p(a,b,c;t,z)=tb−c(t−1)c−a−1(t−z)−b−2,w(a,b,c;t,z)=(t−z)2p(a,b,c;t,z);{displaystyle p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);}

则

∂w∂z=b(t−z)p(a,b,c;t,z),∂2w∂z2=b(b+1)p(a,b,c;t,z){displaystyle {frac {partial w}{partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),quad {frac {partial ^{2}w}{partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)}

z(1−z)∂2w∂z2+[c−(a+b+1)z]∂w∂z−abw=bp(a,b,c;t,z){z(1−z)(b+1)+[c−(a+b+1)z](t−z)−a(t−z)2}=bp(a,b,c;t,z){−at2+[c−(b−a+1)z]t+(b−c+1)z}=bp(a,b,c;t,z){(b−c+1)(t−1)(t−z)+(c−a)t(t−z)+(−b−1)t(t−1)}=b∂∂t[t(t−1)(t−z)p(a,b,c;t,z)],{displaystyle {begin{array}{cl}&z(1-z){frac {partial ^{2}w}{partial z^{2}}}+left[c-(a+b+1)zright]{frac {partial w}{partial z}}-abw\=&bp(a,b,c;t,z)left{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}right}\=&bp(a,b,c;t,z)left{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)zright}\=&bp(a,b,c;t,z)left{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)right}\=&b{frac {partial }{partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],end{array}}}

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C ₂F₁(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。

对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。

变换公式

分式线性变换

Pfaff 变换

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）：

2F1(a,b;c;z)=(1−z)−b2F1(c−a,b;c;zz−1),|arg⁡(1−z)|<π{displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b},{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{tfrac {z}{z-1}}),quad |arg(1-z)|<pi }

由 a,b 的对称性自然有：

2F1(a,b;c;z)=(1−z)−a2F1(a,c−b;c;zz−1),|arg⁡(1−z)|<π{displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a},{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{tfrac {z}{z-1}}),quad |arg(1-z)|<pi }

证明

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

u=zz−1=1+1z−1{displaystyle u={tfrac {z}{z-1}}=1+{tfrac {1}{z-1}}}

则

z=uu−1,(1−z)a=(1−u)−a,dudz=−(1−u)2,d2udz2=−(1−u)3{displaystyle z={tfrac {u}{u-1}},quad (1-z)^{a}=(1-u)^{-a},quad {tfrac {mathrm {d} u}{mathrm {d} z}}=-(1-u)^{2},quad {tfrac {mathrm {d} ^{2}u}{mathrm {d} z^{2}}}=-(1-u)^{3}}

z(1−z)d2dz2[(1−z)−bw]+[c−(a+b+1)z]ddz[(1−z)−bw]−ab(1−z)−bw=(1−z)−b−1{z[b(b+1)+2b(1−z)ddz+(1−z)2d2dz2]+[c−(a+b+1)z][b+(1−z)ddz]−ab(1−z)}w=(1−z)−b−1{z(1−z)2d2dz2+(1−z)[c−(a−b+1)z]ddz+b(c−a)}w=(1−u)b+1{−u(1−u)d2du2+2uddu−(1−u)[c+(a−b+1)(1−u)−1u]ddu+b(c−a)}w=−(1−u)b+1{u(1−u)d2du2+[c−(c−a+b+1)u]ddu−b(c−a)}w{displaystyle {begin{array}{cl}&z(1-z){tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-b}w]+left[c-(a+b+1)zright]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}[(1-z)^{-b}w]-ab(1-z)^{-b}w\=&(1-z)^{-b-1}left{z[b(b+1)+2b(1-z){tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}]-ab(1-z)right}w\=&(1-z)^{-b-1}left{z(1-z)^{2}{tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}+b(c-a)right}w\=&(1-u)^{b+1}left{-u(1-u){tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} u^{2}}}+2u{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} u}}+b(c-a)right}w\=&-(1-u)^{b+1}left{u(1-u){tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} u}}-b(c-a)right}wend{array}}}

取

w=2F1(c−a,b;c;u){displaystyle w={}_{2}F_{1}(c-a,b;c;u)}

由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z)^-bw(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β：

2F1(a,b;c;z)=(1−z)−b2F1(c−a,b;c;zz−1)=(1−z)−b(1−zz−1)a−c2F1(c−a,c−b;c;zz−1zz−1−1)=(1−z)c−a−b2F1(c−a,c−b;c;z),|arg⁡(1−z)|<π{displaystyle {begin{array}{rcl}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b},{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{frac {z}{z-1}})\&=&(1-z)^{-b}left(1-{frac {z}{z-1}}right)^{a-c},{}_{2}F_{1}left(c-a,c-b;c;{frac {frac {z}{z-1}}{{frac {z}{z-1}}-1}}right)\&=&(1-z)^{c-a-b},{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z),quad |arg(1-z)|<pi end{array}}}

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（F_α,β,μ 恒等于 F_α,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：

Fα,β,μ→PfaffFα,μ,β≡Fα,μ,−β→PfaffFα,−β,μ{displaystyle F_{alpha ,beta ,mu }{xrightarrow {text{Pfaff}}}F_{alpha ,mu ,beta }equiv F_{alpha ,mu ,-beta }{xrightarrow {text{Pfaff}}}F_{alpha ,-beta ,mu }}

二次变换

下面是一个二次变换的例子：

2F1(a,b;2a;z)=(1−z)−b22F1(a−b2,b2;a+12;z24z−4),|arg⁡(1−z)|<π{displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{-{tfrac {b}{2}}},_{2}F_{1}(a-{tfrac {b}{2}},{tfrac {b}{2}};a+{tfrac {1}{2}};{tfrac {z^{2}}{4z-4}}),quad |arg(1-z)|<pi }

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

证明

仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

z(1−z)d2dz2[(1−z)−b2w]+[c−(a+b+1)z]ddz[(1−z)−b2w]−ab(1−z)−b2w=(1−z)−b2−1{z[b2(b2+1)+b(1−z)ddz+(1−z)2d2dz2]+[c−(a+b+1)z][b2+(1−z)ddz]−ab(1−z)}w=(1−z)−b2−1{z(1−z)2d2dz2+(1−z)[c−(a+1)z]ddz+b4[2(c−2a)+(2a−b)z]}w{displaystyle {begin{array}{cl}&z(1-z){tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-{tfrac {b}{2}}}w]+left[c-(a+b+1)zright]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}[(1-z)^{-{tfrac {b}{2}}}w]-ab(1-z)^{-{tfrac {b}{2}}}w\=&(1-z)^{-{tfrac {b}{2}}-1}left{z[{tfrac {b}{2}}({tfrac {b}{2}}+1)+b(1-z){tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{tfrac {b}{2}}+(1-z){tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}]-ab(1-z)right}w\=&(1-z)^{-{tfrac {b}{2}}-1}left{z(1-z)^{2}{tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}+{tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]right}w\end{array}}}

令

c=2a,u=z24z−4=14(z+1−11−z){displaystyle c=2a,quad u={tfrac {z^{2}}{4z-4}}={tfrac {1}{4}}(z+1-{tfrac {1}{1-z}})}

则

1−u=(z−2)24(1−z),dudz=z(z−2)4(1−z)2,d2udz2=−12(1−z)3{displaystyle 1-u={tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},quad {tfrac {mathrm {d} u}{mathrm {d} z}}={tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},quad {tfrac {mathrm {d} ^{2}u}{mathrm {d} z^{2}}}=-{tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}}

z(1−z)2d2dz2+(1−z)[c−(a+1)z]ddz+b4[2(c−2a)+(2a−b)z]=z(1−z)2d2dz2+(1−z)[2a−(a+1)z]ddz+b2(a−b2)z=z3(z−2)216(1−z)2d2du2−z2(1−z)ddu+z(z−2)(2a−az−z)4(1−z)ddu+b2(a−b2)z=−z{u(1−u)d2du2+[a+12−(a+1)u]ddu−b2(a−b2)}{displaystyle {begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}+{tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\=&z(1-z)^{2}{tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}+{tfrac {b}{2}}(a-{tfrac {b}{2}})z\=&{tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} u^{2}}}-{tfrac {z}{2(1-z)}}{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} u}}+{tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} u}}+{tfrac {b}{2}}(a-{tfrac {b}{2}})z\=&-zleft{u(1-u){tfrac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} u^{2}}}+[a+{tfrac {1}{2}}-(a+1)u]{tfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} u}}-{tfrac {b}{2}}(a-{tfrac {b}{2}})right}end{array}}}

取

w=2F1(a−b2,b2;a+12;u){displaystyle w=,{}_{2}F_{1}(a-{tfrac {b}{2}},{tfrac {b}{2}};a+{tfrac {1}{2}};u)}

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

其它例子

运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

Fα,β,μ(z)=f(z)Fα′,β′,μ′(g(z)),P(z){displaystyle F_{alpha ,beta ,mu }(z)=f(z)F_{alpha ',beta ',mu '}(g(z)),quad P(z)}

其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

李代数参数（左）	李代数参数（右）	f(z){displaystyle f(z)}	g(z){displaystyle g(z)}	P(z){displaystyle P(z)}
α,μ,μ{displaystyle alpha ,mu ,mu }	α2,μ,12{displaystyle {tfrac {alpha }{2}},mu ,{tfrac {1}{2}}}	(1−12z)−b{displaystyle (1-{tfrac {1}{2}}z)^{-b}}	(z2−z)2{displaystyle left({tfrac {z}{2-z}}right)^{2}}	|arg⁡(1−z)|<π{displaystyle |arg(1-z)|<pi }
μ,β,μ{displaystyle mu ,beta ,mu }	μ,β2,12{displaystyle mu ,{tfrac {beta }{2}},{tfrac {1}{2}}}	(1+z)−b{displaystyle (1+z)^{-b}}	4z(1+z)2{displaystyle {tfrac {4z}{(1+z)^{2}}}}	|z|<1{displaystyle |z|<1}
α,α,μ{displaystyle alpha ,alpha ,mu }	α,μ2,12{displaystyle alpha ,{tfrac {mu }{2}},{tfrac {1}{2}}}	(1−2z)−b{displaystyle (1-2z)^{-b}}	4z(z−1)(1−2z)2{displaystyle {tfrac {4z(z-1)}{(1-2z)^{2}}}}	ℜz<12{displaystyle Re z<{tfrac {1}{2}}}

另外还有：

2Γ(12)Γ(a+b+12)Γ(a+12)Γ(b+12)F−12,β,μ2(z)=Fβ,β,μ(12−12z)+Fβ,β,μ(12+12z),|arg⁡z|<π,|arg⁡(1−z)|<π{displaystyle {tfrac {2Gamma ({tfrac {1}{2}})Gamma ({tfrac {a+b+1}{2}})}{Gamma ({tfrac {a+1}{2}})Gamma ({tfrac {b+1}{2}})}}F_{-{tfrac {1}{2}},beta ,{tfrac {mu }{2}}}(z)=F_{beta ,beta ,mu }left({tfrac {1}{2}}-{tfrac {1}{2}}{sqrt {z}}right)+F_{beta ,beta ,mu }left({tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {z}}right),quad |arg z|<pi ,|arg(1-z)|<pi }

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换

若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)。

特殊值

z=0

2F1(a,b;c;0)=1{displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;0)=1}

z=1

2F1(a,b;c;1)=B(a,c−a−b)B(a,c−a)=Γ(c)Γ(c−a−b)Γ(c−a)Γ(c−b),ℜ(c)>ℜ(a+b){displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={tfrac {mathrm {B} (a,c-a-b)}{mathrm {B} (a,c-a)}}={tfrac {Gamma (c)Gamma (c-a-b)}{Gamma (c-a)Gamma (c-b)}},quad Re (c)>Re (a+b)}

这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

z=-1

2F1(a,b;1+a−b;−1)=Γ(1+a−b)Γ(1+12a)Γ(1+a)Γ(1+12a−b){displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={frac {Gamma (1+a-b)Gamma (1+{tfrac {1}{2}}a)}{Gamma (1+a)Gamma (1+{tfrac {1}{2}}a-b)}}}

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

z=1/2

2F1(a,b;12(1+a+b);12)=Γ(12)Γ(12(1+a+b))Γ(12(1+a))Γ(12(1+b)).{displaystyle _{2}F_{1}left(a,b;{tfrac {1}{2}}left(1+a+bright);{tfrac {1}{2}}right)={frac {Gamma ({tfrac {1}{2}})Gamma ({tfrac {1}{2}}left(1+a+bright))}{Gamma ({tfrac {1}{2}}left(1+a)right)Gamma ({tfrac {1}{2}}left(1+bright))}}.}

2F1(a,1−a;c;12)=Γ(12c)Γ(12(1+c))Γ(12(c+a))Γ(12(1+c−a)).{displaystyle _{2}F_{1}left(a,1-a;c;{tfrac {1}{2}}right)={frac {Gamma ({tfrac {1}{2}}c)Gamma ({tfrac {1}{2}}left(1+cright))}{Gamma ({tfrac {1}{2}}left(c+aright))Gamma ({tfrac {1}{2}}left(1+c-aright))}}.}

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

参考文献

• 
  Hazewinkel, Michiel (编), Hypergeometric function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions (University of Oxford, MSc Thesis)


• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)


• 埃里克·韦斯坦因. Hypergeometric Function. MathWorld. 


• 
  Olde Daalhuis, A. B., Hypergeometric Function, (编) Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
  


• 
  Goursat, Édouard. Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1881, 10: 3–142 [2008-10-16] （法语）.