收敛半径
收敛半径是数学中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。
目录
1 定义
2 收敛半径的计算
3 复分析中的收敛半径
3.1 简单的例子
3.2 一个更复杂的例子
4 收敛圆上的敛散性
5 收敛速率
6 图例
7 狄利克雷级数的收敛度规
8 参见
9 参考来源
10 外部链接
定义
定义幂级数f为：f(z)=∑n=0∞cn(z−a)n,{displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }c_{n}(z-a)^{n},}
收敛半径r是一个非负的实数或无穷大（∞{displaystyle scriptstyle infty }
具体来说，当z和a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。
收敛半径的计算
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R{displaystyle R}
ρ{displaystyle rho }是正实数时，R=1ρ{displaystyle R={1 over rho }}
。
ρ=0{displaystyle rho =0}时，R=∞{displaystyle R=infty }
。
ρ=∞{displaystyle rho =infty }时，R=0{displaystyle R=0}
。
根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：
- R=lim infn→∞|an|−1n{displaystyle R=liminf _{nto infty }left|a_{n}right|^{-{frac {1}{n}}}}
- 或者1R=lim supn→∞|an|1n{displaystyle {frac {1}{R}}=limsup _{nto infty }left|a_{n}right|^{frac {1}{n}}}
。
复分析中的收敛半径
将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：
- 一个中心为a的幂级数f的收敛半径R等于a与离a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到a的距离严格小于R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。
最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数
- f(z)=11+z2{displaystyle f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}}
没有复根。它在零处的泰勒展开为：
- ∑n=0∞(−1)nz2n{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}z^{2n}}
运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数f(z){displaystyle f(z)}
简单的例子
三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数：
- arctan(z)=z−z33+z55−z77+⋯.{displaystyle arctan(z)=z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots .}
运用审敛法可以知道收敛半径为1。
一个更复杂的例子
考虑如下幂级数展开：
- zez−1=∑n=0∞Bnn!zn{displaystyle {frac {z}{e^{z}-1}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}
其中有理数Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当z=0时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得
- ez−1=0{displaystyle e^{z}-1=0}
的复数z。设z = x + iy，那么
- ez=exeiy=ex(cos(y)+isin(y)),{displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(cos(y)+isin(y)),,}
要使之等于1，则虚部必须为零。于是有y=kπ{displaystyle y=kpi }
离原点最近距离为2π{displaystyle 2pi }
收敛圆上的敛散性
如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足 |z − a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。
例1:函数ƒ(z) = (1 − z)−1在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。
例2:函数g(z) = ln(1 − z)在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，在z = 1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数ƒ(z)是 -g(z)的复导数。
例3:幂级数
- ∑n=1∞1n2zn{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}z^{n}}
的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h(z)是这个级数对应的函数，那么h(z)是例2中的g(z)除以z後的导数。h(z)是双对数函数。
例4:幂级数
- P(z)=∑n=1∞(−1)n−12n⋅n(z2n−1+⋯+z2n−1){displaystyle P(z)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}cdot n}}(z^{2^{n-1}}+cdots +z^{2^{n}-1})}
的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛[1]。
收敛速率
将下列函数在x = 0处展开：
- f(x)=sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x33!+x55!−⋯ ∀x{displaystyle f(x)=sin x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots forall x}
可以看到收敛半径为∞{displaystyle scriptstyle infty }
文中提及的曲线的图例：红、蓝线为逼近线，白圈为收敛圆。
可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。
图例
考虑函数1/(z2 + 1)，对应的图像见右。函数在z = ±{displaystyle scriptstyle pm }
与上面的例子类似，由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在z = 0处的泰勒级数收敛当且仅当 |z| < 1。
狄利克雷级数的收敛度规
与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数的收敛度规，也就是使得级数∑n=1∞anns{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{a_{n} over n^{s}}}
参见
- 无穷级数
- 幂级数
- 阿贝尔定理
- 阿贝尔型定理和陶伯型定理
- 哈代-李特爾伍德圓法
- 收敛度规
参考来源
^ Sierpiński, Wacław, O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka, 1918, 29: 263–266
Brown, James; Churchill, Ruel, Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0-07-010905-6
Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11385-8
幂级数. [2008-09-10]. （原始内容存档于2008-11-21）.
毕节学院复变函数教程. [2008-09-10]. [永久失效連結]
外部链接
（英文）收敛半径是什么？. [2008-09-10].
