当且仅当
| 「当且仅当」的各地常用別名 | |
|---|---|
| 中国大陸 | 当且仅当 |
| 臺灣 | 若且唯若 |
| 港澳 | 當且僅當 |
↔⇔≡
当且仅当的逻辑符号
当且仅当（英语：if and only if，iff），在數位邏輯中，逻辑算符反互斥或閘（exclusive or）是对两个运算元的一种邏輯分析类型，符号为XNOR或ENOR或⇔{displaystyle Leftrightarrow }
一般而言，當我們看到“当且仅当P{displaystyle P}
目录
1 当且仅当
1.1 标记
1.2 证明
1.3 有关英语缩写iff的开端
2 “当”与“当且仅当”
3 进一步的思考
4 更一般的用法
5 注解
6 参考文献
7 参见
当且仅当
标记
与此相对应的逻辑符号是↔{displaystyle leftrightarrow }
证明
设P{displaystyle P}
有关英语缩写iff的开端
在出版物中，英语iff的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用[1]。
“当”与“当且仅当”
简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：
当冰淇淋是香草口味的，则小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋。）
当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋；并且，如果小王吃冰淇淋，那么这个冰淇淋就是香草口味的。）
第1句指小王会吃香草口味的冰淇淋，并没有排除他会吃香草以外口味冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。
第2句指小王会吃且只吃香草口味的冰淇淋，他不会吃任何其它口味的冰淇淋。
进一步的思考
用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。
双条件句“当且仅当P{displaystyle P}
相对照的，“P{displaystyle P}
这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“P{displaystyle P}
- 当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。
很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异，请参照W. V. Quine的《数理逻辑，第5节》。
在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：
- 当且仅当一个人是未婚且可结婚的男人，则他是单身男性。
- 当且仅当x=1{displaystyle x=1}
，则x+1=2{displaystyle x+1=2}
。
- 对于任意命题P,Q,R{displaystyle P,Q,R}
，当且仅当(P∧Q)∧R{displaystyle (Pland Q)land R}
，则P∧(Q∧R){displaystyle Pland (Qland R)}
。
更一般的用法
“当且仅当”在逻辑领域以外，如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。
注解
^ 直譯自Q if and only if P，並不符合漢語語法。
参考文献
^ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
参见
- 充分必要条件
- 等价关系
- 等价符号
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