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  本文介紹的是无穷限或无界的积分。關於“廣義黎曼積分”（也簡稱“廣義積分”），請見「Henstock–Kurzweil积分」。

反常积分又叫广义积分（“广义积分”为较早教科书的称呼，现在中国大陆已弃用），是对普通定积分的推广，指含有无穷上限／下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又叫无界函数的反常积分）。

无穷限广义积分

定义

无穷限广义积分指积分上限下限中含有无穷大（∞）的积分，严格的数学定义如下：

设函数 f(x){displaystyle f(x)} 在 [a,+∞） 上任何闭区间都是可积的，积分

∫a∞f(x)dx=limu→+∞∫auf(x)dx{displaystyle int _{a}^{infty }f(x)dx=lim _{uto +infty }int _{a}^{u}f(x)dx}

称为无穷限广义积分。当上述极限存在时，称广义积分∫a∞f(x)dx=limu→+∞∫auf(x)dx{displaystyle int _{a}^{infty }f(x)dx=lim _{uto +infty }int _{a}^{u}f(x)dx}收敛，当上述极限不存在时，称该广义积分发散。
类似的，设函数f(x){displaystyle f(x)} 在（－∞,a］上任何闭区间都是可积的，积分：∫−∞af(x)dx=limu→−∞∫uaf(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{a}f(x)dx=lim _{uto -infty }int _{u}^{a}f(x)dx}亦称为无穷限广义积分。

定义的推广

设f(x){displaystyle f(x)}在(-∞,+∞)的任何闭区间上可积，且对于∀{displaystyle forall }a∈{displaystyle in }(-∞,+∞),广义积分∫−∞af(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{a}f(x)dx}与∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }f(x)dx}都收敛，则广义积分∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}收敛，且∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}＝∫−∞af(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{a}f(x)dx}＋∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }f(x)dx},当∫−∞af(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{a}f(x)dx}与∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }f(x)dx}中至少有一个发散，则称∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}发散。

与柯西主值的联系

从极限的角度考察上述广义积分有如下等式；∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}＝limu→+∞∫auf(x)dx{displaystyle lim _{uto +infty }int _{a}^{u}f(x)dx}+limv→−∞∫vaf(x)dx{displaystyle lim _{vto -infty }int _{v}^{a}f(x)dx},值得注意的是等式右边的两个极限的收敛速度可能不同，若 limu→+∞∫auf(x)dx{displaystyle lim _{uto +infty }int _{a}^{u}f(x)dx}与limv→−∞∫vaf(x)dx{displaystyle lim _{vto -infty }int _{v}^{a}f(x)dx}都收敛，则limu→+∞∫auf(x)dx{displaystyle lim _{uto +infty }int _{a}^{u}f(x)dx}+limv→−∞∫vaf(x)dx{displaystyle lim _{vto -infty }int _{v}^{a}f(x)dx}=limu→+∞∫−uuf(x)dx{displaystyle lim _{uto +infty }int _{-u}^{u}f(x)dx}，这时若limu→+∞∫−uuf(x)dx{displaystyle lim _{uto +infty }int _{-u}^{u}f(x)dx}收敛，则称该极限为广义积分∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}的柯西主值；记为p.v∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}。根据定义，可有如下性质：
若∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx} 收敛，则其柯西主值p.v∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}＝∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}。但是若柯西主值p.v∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx} 收敛，未必有limu→+∞∫auf(x)dx{displaystyle lim _{uto +infty }int _{a}^{u}f(x)dx} 以及limu→−∞∫uaf(x)dx{displaystyle lim _{uto -infty }int _{u}^{a}f(x)dx}都收敛，即p.v∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx} 收敛，未必有∫−∞+∞f(x)dx{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x)dx}收敛。

无穷限广义积分的性质

（i）对于∀{displaystyle forall } b>a{displaystyle b>a} 无穷限广义积分∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }f(x)dx}与∫b+∞f(x)dx{displaystyle int _{b}^{+infty }f(x)dx} 有相同的敛散性，且收敛时，有∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }f(x)dx}=∫abf(x)dx{displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx}+∫b+∞f(x)dx{displaystyle int _{b}^{+infty }f(x)dx}
由此可知，∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }f(x)dx}收敛的充分必要条件是对∀{displaystyle forall }b>a，∫b+∞f(x)dx{displaystyle int _{b}^{+infty }f(x)dx} 收敛，并且 limb→+∞∫b+∞f(x)dx=0{displaystyle lim _{bto +infty }int _{b}^{+infty }f(x)dx=0}。
（ii）对于任意常数k≠0{displaystyle kneq 0}, ∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }f(x)dx}与∫a+∞kf(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }kf(x)dx} 有相同的敛散性，并且收敛时，有∫a+∞kf(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }kf(x)dx}＝k∫a+∞f(x)dx{displaystyle kint _{a}^{+infty }f(x)dx}

瑕积分

第一類：上限或下限為無限

第二類：被積函數的區間中，一些點為無限

瑕积分是被积函数带有瑕点的广义积分，参见如下定义：

定义1

设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点.取t>a，如果极限

limt→a+∫tbf(x)dx{displaystyle lim _{tto a^{+}}int _{t}^{b}f(x)dx}

存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分。

瑕积分仍然记作∫abf(x)dx{displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx}。

定义2

设函数f(x)在[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点。取t<b，如果极限

limt→b−∫atf(x)dx{displaystyle lim _{tto b^{-}}int _{a}^{t}f(x)dx}

存在，则称此极限为函数f(x)在[a,b)上的反常积分。

定义3

设函数f(x)在[a,b]上除点c(a < c < b)外上连续，点c为f(x)的瑕点。如果两个瑕积分

∫acf(x)dx{displaystyle int _{a}^{c}f(x)dx}与∫cbf(x)dx{displaystyle int _{c}^{b}f(x)dx}

都收敛，则定义

∫abf(x)=∫acf(x)+∫cbf(x){displaystyle int _{a}^{b}f(x)=int _{a}^{c}f(x)+int _{c}^{b}f(x)}

参考文献

1. 《数学分析》 第三版 下册 欧阳光中 朱学炎 陈传璋 高等教育出版社 ISBN 978-7-04-020743-9
   

参见

• 积分


• 积分学


• 定积分


• 瑕积分