积分变换
積分變換（integral transform）是數學中作用于函数的算子，用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換﹑拉普拉斯變換等。
概述
以一變數為 t{displaystyle t}
- (Tf)(u)=∫t1t2K(t,u)f(t)dt{displaystyle (Tf)(u)=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u),f(t),dt}
其中 K{displaystyle K}
有些積分變換有相對應的反積分變換（inverse transform），使得
- f(t)=∫u1u2K−1(u,t)(Tf(u))du{displaystyle f(t)=int limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t),(Tf(u)),du}
而 K−1(u,t){displaystyle K^{-1}(u,t)}
積分變換表
| 積分變換 | 符號 | 核 K{displaystyle K} | t1 | t2 | 反核 K−1{displaystyle K^{-1}} | u1 | u2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
傅立葉變換 | F{displaystyle {mathcal {F}}}  | e−iut2π{displaystyle {frac {e^{-iut}}{sqrt {2pi }}}}  | −∞{displaystyle -infty ,}  | ∞{displaystyle infty ,}  | e+iut2π{displaystyle {frac {e^{+iut}}{sqrt {2pi }}}}  | −∞{displaystyle -infty ,} | ∞{displaystyle infty ,} |
傅立葉正弦變換 | Fs{displaystyle {mathcal {F}}_{s}}  | 2sin(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}sin {(ut)}}{sqrt {pi }}}}  | 0{displaystyle 0,}  | ∞{displaystyle infty ,} | 2sin(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}sin {(ut)}}{sqrt {pi }}}} | 0{displaystyle 0,} | ∞{displaystyle infty ,} |
傅立葉餘弦變換 | Fc{displaystyle {mathcal {F}}_{c}}  | 2cos(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}cos {(ut)}}{sqrt {pi }}}}  | 0{displaystyle 0,} | ∞{displaystyle infty ,} | 2cos(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}cos {(ut)}}{sqrt {pi }}}} | 0{displaystyle 0,} | ∞{displaystyle infty ,} |
Hartley变换 | H{displaystyle {mathcal {H}}}  | cos(ut)+sin(ut)2π{displaystyle {frac {cos(ut)+sin(ut)}{sqrt {2pi }}}}  | −∞{displaystyle -infty ,} | ∞{displaystyle infty ,} | cos(ut)+sin(ut)2π{displaystyle {frac {cos(ut)+sin(ut)}{sqrt {2pi }}}} | −∞{displaystyle -infty ,} | ∞{displaystyle infty ,} |
Mellin变换 | M{displaystyle {mathcal {M}}}  | tu−1{displaystyle t^{u-1},}  | 0{displaystyle 0,} | ∞{displaystyle infty ,} | t−u2πi{displaystyle {frac {t^{-u}}{2pi i}},}  | c−i∞{displaystyle c!-!iinfty }  | c+i∞{displaystyle c!+!iinfty }  |
双边拉普拉斯变换 | B{displaystyle {mathcal {B}}}  | e−ut{displaystyle e^{-ut},}  | −∞{displaystyle -infty ,} | ∞{displaystyle infty ,} | e+ut2πi{displaystyle {frac {e^{+ut}}{2pi i}}}  | c−i∞{displaystyle c!-!iinfty } | c+i∞{displaystyle c!+!iinfty } |
拉普拉斯变换 | L{displaystyle {mathcal {L}}}  | e−ut{displaystyle e^{-ut},} | 0{displaystyle 0,} | ∞{displaystyle infty ,} | e+ut2πi{displaystyle {frac {e^{+ut}}{2pi i}}} | c−i∞{displaystyle c!-!iinfty } | c+i∞{displaystyle c!+!iinfty } |
魏尔斯特拉斯变换 | W{displaystyle {mathcal {W}}}  | e−(u−t)2/44π{displaystyle {frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{sqrt {4pi }}},}  | −∞{displaystyle -infty ,} | ∞{displaystyle infty ,} | e+(u−t)2/4i4π{displaystyle {frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{sqrt {4pi }}}}}  | c−i∞{displaystyle c!-!iinfty } | c+i∞{displaystyle c!+!iinfty } |
Hankel变换 | tJν(ut){displaystyle t,J_{nu }(ut)}  | 0{displaystyle 0,} | ∞{displaystyle infty ,} | uJν(ut){displaystyle u,J_{nu }(ut)}  | 0{displaystyle 0,} | ∞{displaystyle infty ,} | |
阿贝尔积分变换 | 2tt2−u2{displaystyle {frac {2t}{sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}  | u{displaystyle u,}  | ∞{displaystyle infty ,} | −1πu2−t2ddu{displaystyle {frac {-1}{pi {sqrt {u^{2}!-!t^{2}}}}}{frac {d}{du}}}  | t{displaystyle t,}  | ∞{displaystyle infty ,} | |
希爾伯特轉換 | Hil{displaystyle {mathcal {H}}il}  | 1π1u−t{displaystyle {frac {1}{pi }}{frac {1}{u-t}}}  | −∞{displaystyle -infty ,} | ∞{displaystyle infty ,} | 1π1u−t{displaystyle {frac {1}{pi }}{frac {1}{u-t}}} | −∞{displaystyle -infty ,} | ∞{displaystyle infty ,} |
泊松核 | 1−r21−2rcosθ+r2{displaystyle {frac {1-r^{2}}{1-2rcos theta +r^{2}}}}  | 0{displaystyle 0,} | 2π{displaystyle 2pi ,}  | ||||
狄拉克δ函数 | δ(u−t){displaystyle delta (u-t),}  | t1<u{displaystyle t_{1}<u,}  | t2>u{displaystyle t_{2}>u,}  | δ(t−u){displaystyle delta (t-u),}  | u1<t{displaystyle u_{1}!<!t}  | u2>t{displaystyle u_{2}!>!t}  |
在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。
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