梅林变换
 | 本条目可参照英語維基百科相應條目来扩充。（2018年4月11日） |
在数学中，梅林变换是一种以幂函数为核的积分变换。定义式如下：
- {Mf}(s)=φ(s)=∫0∞xs−1f(x)dx.{displaystyle left{{mathcal {M}}fright}(s)=varphi (s)=int _{0}^{infty }x^{s-1}f(x)dx.}
而其逆变换为
- {M−1φ}(x)=f(x)=12πi∫c−i∞c+i∞x−sφ(s)ds.{displaystyle left{{mathcal {M}}^{-1}varphi right}(x)=f(x)={frac {1}{2pi i}}int _{c-iinfty }^{c+iinfty }x^{-s}varphi (s),ds.}
梅林变换有许多应用，例如可以证明黎曼ζ函数的函数方程。
目录
1 與其他變換之關係
1.1 雙邊拉普拉斯變換
1.2 傅立葉變換
2 範例
2.1 Cahen–Mellin 積分
2.2 數論
3 圓柱坐標系下的拉普拉斯算子
4 参考文献
與其他變換之關係
雙邊拉普拉斯變換
雙邊拉普拉斯變換可以用梅林變換來表示，如下式
- {Bf}(s)={Mf(−lnx)}(s){displaystyle left{{mathcal {B}}fright}(s)=left{{mathcal {M}}f(-ln x)right}(s)}
梅林變換也可以用雙邊拉普拉斯變換來表示，如下式
- {Mf}(s)={Bf(e−x)}(s){displaystyle left{{mathcal {M}}fright}(s)=left{{mathcal {B}}f(e^{-x})right}(s)}
傅立葉變換
傅立葉變換可以用梅林變換來表示，如下式
- {Ff}(−s)={Bf}(−is)={Mf(−lnx)}(−is) {displaystyle left{{mathcal {F}}fright}(-s)=left{{mathcal {B}}fright}(-is)=left{{mathcal {M}}f(-ln x)right}(-is) }
梅林變換變換也可以用傅立葉來表示，如下式
- {Mf}(s)={Bf(e−x)}(s)={Ff(e−x)}(−is) {displaystyle left{{mathcal {M}}fright}(s)=left{{mathcal {B}}f(e^{-x})right}(s)=left{{mathcal {F}}f(e^{-x})right}(-is) }
範例
Cahen–Mellin 積分
對於 c>0{displaystyle c>0}
- e−y=12πi∫c−i∞c+i∞Γ(s)y−sds{displaystyle e^{-y}={frac {1}{2pi i}}int _{c-iinfty }^{c+iinfty }Gamma (s)y^{-s};ds}
其中 Γ(s){displaystyle Gamma (s)}
數論
假設
- ℜ(s+a)<0{displaystyle Re (s+a)<0}
我們有
- f(x)={0x<1xax>1{displaystyle f(x)={begin{cases}0&x<1\x^{a}&x>1end{cases}}}
其中
- Mf(s)=−1s+a{displaystyle {mathcal {M}}f(s)=-{frac {1}{s+a}}}
圓柱坐標系下的拉普拉斯算子
在任何維度的圓柱坐標系中，拉普拉斯算子總是會包含下式
- 1r∂∂r(r∂f∂r){displaystyle {frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r{frac {partial f}{partial r}}right)}
例如，拉普拉斯算子在二維空間的極坐標表示法
- ∇2f=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2{displaystyle nabla ^{2}f={frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial theta ^{2}}}}
或是在三維空間的柱坐標表示法
- ∇2f=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂φ2+∂2f∂z2{displaystyle nabla ^{2}f={frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}}
而利用梅林變換可以很簡單的處理此項
- 1r∂∂r(r∂f∂r)=frr+frr{displaystyle {frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r{frac {partial f}{partial r}}right)=f_{rr}+{frac {f_{r}}{r}}}
- M(r2frr+rfr,r→s)=s2M(f,r→s)=s2F{displaystyle {mathcal {M}}left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},rto sright)=s^{2}{mathcal {M}}left(f,rto sright)=s^{2}F}
舉例來說，二維拉普拉斯方程的極坐標表示法具有以下形式
- r2frr+rfr+fθθ=0{displaystyle r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{theta theta }=0}
或是
- 1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2=0{displaystyle {frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial theta ^{2}}}=0}
利用梅林變換，可以轉換成一個簡諧振子的形式
- Fθθ+s2F=0{displaystyle F_{theta theta }+s^{2}F=0}
通解為
- F(s,θ)=C1(s)cos(sθ)+C2(s)sin(sθ){displaystyle F(s,theta )=C_{1}(s)cos(stheta )+C_{2}(s)sin(stheta )}
若給定邊界條件
- f(r,−θ0)=a(r),f(r,θ0)=b(r){displaystyle f(r,-theta _{0})=a(r),quad f(r,theta _{0})=b(r)}
其梅林變換為
- F(s,−θ0)=A(s),F(s,θ0)=B(s){displaystyle F(s,-theta _{0})=A(s),quad F(s,theta _{0})=B(s)}
則通解可以寫成
- F(s,θ)=A(s)sin(s(θ0−θ))sin(2θ0s)+B(s)sin(s(θ0+θ))sin(2θ0s){displaystyle F(s,theta )=A(s){frac {sin(s(theta _{0}-theta ))}{sin(2theta _{0}s)}}+B(s){frac {sin(s(theta _{0}+theta ))}{sin(2theta _{0}s)}}}
最後利用逆變換以及卷積定理
- M−1(sin(sφ)sin(2θ0s);s→r)=12θ0rmsin(mφ)1+2rmcos(mφ)+r2m{displaystyle {mathcal {M}}^{-1}left({frac {sin(svarphi )}{sin(2theta _{0}s)}};sto rright)={frac {1}{2theta _{0}}}{frac {r^{m}sin(mvarphi )}{1+2r^{m}cos(mvarphi )+r^{2m}}}}
其中
- m=π2θ0{displaystyle m={frac {pi }{2theta _{0}}}}
可以得到
- f(r,θ)=rmcos(mθ)2θ0∫0∞{a(x)x2m+2rmxmsin(mθ)+r2m+b(x)x2m−2rmxmsin(mθ)+r2m}xm−1dx{displaystyle f(r,theta )={frac {r^{m}cos(mtheta )}{2theta _{0}}}int _{0}^{infty }left{{frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}sin(mtheta )+r^{2m}}}+{frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}sin(mtheta )+r^{2m}}}right}x^{m-1},dx}
参考文献
Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc. 2004. ISBN 0-8247-5402-6.
