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图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。

同伦（英语：homotopic，源自希臘語：ὁμός homós，意为“相同，相似的”与希臘語：τόπος tópos，意为“方位”）。在數學中，同倫的概念在拓撲上描述了兩個對象間的「連續變化」。
在拓扑学中，两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和上同伦群（英语：Cohomotopy group）的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量（英语：Invariant (mathematics)）。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。

定义

两个将环面映射到R³的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

給定兩個拓撲空間 X{displaystyle X,!} 和 Y{displaystyle Y,!}。考慮兩個連續函數 f,g:X→Y{displaystyle f,,g,:,Xrightarrow Y,!}，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 H:X×[0,1]→Y{displaystyle H,:,Xtimes [0,1]rightarrow Y,!} 使得：

• ∀x∈X,H(x,0)=f(x){displaystyle forall xin X,,H(x,0)=f(x),!}


• ∀x∈X,H(x,1)=g(x){displaystyle forall xin X,,H(x,1)=g(x),!}

則稱H{displaystyle H}是 f,g{displaystyle f,,g}之间的一个同倫^[1]:183。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一種觀點是：對每個x∈X{displaystyle xin X,!}，函數 H{displaystyle H,!} 定義一條連接 f(x){displaystyle f(x),!} 與 g(x){displaystyle g(x),!}的路徑：

γx:[0,1]→Y,t↦H(x,t){displaystyle gamma _{x},:,[0,1]rightarrow Y,,tmapsto H(x,t),!}

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到
R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系^[1]:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同伦的，并且 f₂, g₂ : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f₂ ∘ f₁ 与 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同伦的。

例子

例一：取 X=R{displaystyle X=mathbb {R} ,!}, Y=R{displaystyle Y=mathbb {R} ,!}, f(x)=1{displaystyle f(x)=1,!} 及 g(x)=−1{displaystyle g(x)=-1,!}。則f{displaystyle f,!} 與 g{displaystyle g,!} 透過下述函數在 Y{displaystyle Y,!} 中同倫。

H(x,t)=1−2t{displaystyle H(x,t)=1-2t,!}

（注意到此例子不依賴於變數 x{displaystyle x}，通常並非如此。）

註：「在Y{displaystyle Y}中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將Y=R{displaystyle Y=mathbb {R} ,!}代為子空間Y′=R∗{displaystyle Y'=mathbb {R} ^{*},!}，則雖然f{displaystyle f,!} 與 g{displaystyle g,!}仍取值在Y′{displaystyle Y',!}，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取X=[0,1]{displaystyle X=[0,1],!},Y=C{displaystyle Y=mathbb {C} ,!},f(x)=e2iπx{displaystyle f(x)=e^{2ipi x},!} 及 g(x)=0{displaystyle g(x)=0,!}。则f{displaystyle f,!}描繪一個以原點為圓心的單位圓； g{displaystyle g,!}停在原點。f{displaystyle f,!} 與 g{displaystyle g,!} 透過下述連續函數同倫：

H(x,t)=(1−t)e2iπx{displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2ipi x},!}

幾何上來看，對每個值t{displaystyle t,!}，函數ht(x)=H(x,t){displaystyle h_{t}(x)=H(x,t),!}描繪一個以原點為圓心，半徑 1−t{displaystyle 1-t} 的圓。

相對同倫

為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設f,g:X→Y{displaystyle f,g:Xrightarrow Y}是連續函數，固定子空間 K⊂X{displaystyle Ksubset X}；若存在前述同倫映射 H:X×[0,1]→Y{displaystyle H:Xtimes [0,1]rightarrow Y}，滿足：

• H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x){displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}


• ∀k∈KH(k,t)=f(k)=g(k){displaystyle forall kin K;H(k,t)=f(k)=g(k)}

則稱 f,g{displaystyle f,g} 相對於 K{displaystyle K} 同倫。若取 K=∅{displaystyle K=emptyset }，則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價

空間的連續變化：咖啡杯與甜甜圈

給定兩個拓撲空間E{displaystyle E,!} 與 F{displaystyle F,!}，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），当且仅当存在兩個連續映射f:E→F{displaystyle f,:,Erightarrow F,!}與g:F→E{displaystyle g,:,Frightarrow E,!}，使得：

• 
  g∘f{displaystyle gcirc f,!} 同倫到 E{displaystyle E,!} 的恆等映射 idE{displaystyle mathrm {id} _{E}}。


• 
  f∘g{displaystyle fcirc g,!} 同倫到 F{displaystyle F,!} 的恆等映射 idF{displaystyle mathrm {id} _{F}}。

同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

例三：

• 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到C∗{displaystyle mathbb {C} ^{*},!}，即去掉一點的平面。


• 線段[a,b]{displaystyle [a,b],!}、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。

同痕

同痕是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數f:X→Y{displaystyle f,:,Xrightarrow Y,!} 和 g:X→Y{displaystyle g,:,Xrightarrow Y,!} 是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如次：f{displaystyle f,!} 與 g{displaystyle g,!}被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射H:X×[0,1]→Y{displaystyle H,:,Xtimes [0,1]rightarrow Y,!}使之滿足：

• ∀x∈X,H(x,0)=f(x){displaystyle forall xin X,,H(x,0)=f(x),!}


• ∀x∈X,H(x,1)=g(x){displaystyle forall xin X,,H(x,1)=g(x),!}


• 對所有t∈[0,1]{displaystyle tin [0,1],!}，映射ht(x)=H(x,t){displaystyle h_{t}(x)=H(x,t),!}是個嵌入映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

參見

• Homeotopy（英语：Homeotopy）


• 庞加莱猜想


• 同倫範疇


• 同伦类型论


• 纤维-同伦等价（英语：Fiber-homotopy equivalence）


• 映射类群（英语：Mapping class group）


• 正则同伦（英语：Regular homotopy）

1. 
   ^ ^1.01.1 Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114.  引文格式1维护：日期与年 (link)