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R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的，下面的空间 B 是不连通的。

定义

拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立：

• X不能表示为两个不相交的非空开集的并集。


• ∀A⊆X，A≠X或∅，A^-∩(X-A)^-≠∅。

一个拓扑空间被称为是不连通的，若它不是连通的。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质，即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射，其中一个空间是连通的，则另一个空间也是连通的。

一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间，不过也有数学家不承认这一点。

连通单元

连通子集

拓扑空间X的子集A称为连通的，当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。

连通单元

拓扑空间的极大连通子集称作连通单元。

完全不连通空间

拓扑空间X称为完全不连通空间，当且仅当X的连通单元都是单元素集合。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必然是闭的，在够好的空间（如流形、代数簇）上也同时是开的，但并非总是如此。

其它连通性定义

道路连通，弧连通

R² 的这个子空间是道路连通的，因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。

称拓扑空间X是道路连通空间，当且仅当∀x,y∈X，存在连续函数γ:[0,1]→X{displaystyle gamma :[0,1]to X} 使得 γ(0)=x,γ(1)=y{displaystyle gamma (0)=x,gamma (1)=y}。若γ{displaystyle gamma } 可取为使得 [0,1]→γ([0,1]){displaystyle [0,1]to gamma ([0,1])} 为同胚，则称X为弧连通空间。

道路连通空间是连通空间，反之不一定。

道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

局部连通

拓扑空间X称为局部连通的，当且仅当以下叙述之一成立：

• 空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。


• 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。

例子

• 
  拓扑学家的正弦曲线。在平面欧几里得空间R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}中定义集合
  S={(x,sin⁡1x)|x∈(0,1]}{displaystyle S={(x,sin {frac {1}{x}})|xin (0,1]}}
  和
  T={(0,y)|y∈[0,1]}{displaystyle T={(0,y)|yin [0,1]}}
  。考虑S∪T{displaystyle Scup T}在R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}中诱导的子拓扑空间，它是连通的，但不是局部连通的。


• 
  有理数集上的连通单元都是单元素集合，所以有理数集是一个完全不连通空间。

參考文獻