局部域
在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。
非阿基米德局部域
設F{displaystyle F}
- 閉單位球：{a∈F:|a|≤1}{displaystyle {ain F:|a|leq 1}}
，或其整數環O{displaystyle {mathcal {O}}}
，這是個緊集。
- 整數環裡的單位元素：O×={a∈F:|a|=1}{displaystyle {mathcal {O}}^{times }={ain F:|a|=1}}
- 開單位球：{a∈F:|a|<1}{displaystyle {ain F:|a|<1}}
，這同時是其整數環裡唯一的極大理想，也記作m{displaystyle {mathfrak {m}}}
。
上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數0<c<1{displaystyle 0<c<1}
∀a∈Fcv(a)=|a|{displaystyle forall ain F;c^{v(a)}=|a|}.
可取唯一的c{displaystyle c}
從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域F{displaystyle F}
這類局部域的行為可由局部類域論描述。
分類
局部域的完整分類如次：
R,C{displaystyle mathbb {R} ,mathbb {C} }。這些是阿基米德局部域。
p進數域Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}}的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
Fq((T)){displaystyle mathbb {F} _{q}((T))}的有限擴張（其中Fq{displaystyle mathbb {F} _{q}}
表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。
文獻
- Milne, James, Algebraic Number Theory.
Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.
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