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在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域

設F{displaystyle F}為非阿基米德局部域，而|⋅|{displaystyle |cdot |}為其絕對值。關鍵在下述對象：

• 閉單位球：{a∈F:|a|≤1}{displaystyle {ain F:|a|leq 1}}，或其整數環O{displaystyle {mathcal {O}}}，這是個緊集。


• 整數環裡的單位元素：O×={a∈F:|a|=1}{displaystyle {mathcal {O}}^{times }={ain F:|a|=1}}
  


• 開單位球：{a∈F:|a|<1}{displaystyle {ain F:|a|<1}}，這同時是其整數環裡唯一的極大理想，也記作m{displaystyle {mathfrak {m}}}。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數0<c<1{displaystyle 0<c<1}及離散賦值v:F×→Z{displaystyle v:F^{times }rightarrow mathbb {Z} }，使得

∀a∈Fcv(a)=|a|{displaystyle forall ain F;c^{v(a)}=|a|}.

可取唯一的c{displaystyle c}使得v{displaystyle v}為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域F{displaystyle F}，帶離散賦值v:F×→Z{displaystyle v:F^{times }rightarrow mathbb {Z} }，使得F{displaystyle F}成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

分類

局部域的完整分類如次：

• 
  R,C{displaystyle mathbb {R} ,mathbb {C} }。這些是阿基米德局部域。


• 
  p進數域Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}}的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。


• 
  Fq((T)){displaystyle mathbb {F} _{q}((T))}的有限擴張（其中Fq{displaystyle mathbb {F} _{q}}表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

文獻

• Milne, James, Algebraic Number Theory.


• 
  Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.