双射
數學中,一個由集合X{displaystyle X}映射至集合Y{displaystyle Y}的函數,若對每一在Y{displaystyle Y}內的y{displaystyle y},存在唯一一個在X{displaystyle X}內的x{displaystyle x}与其对应,則此函數為對射函數。
換句話說,f{displaystyle f}為雙射的若其為兩集合間的一一對應,亦即同時為單射和滿射。
例如,由整數集合Z{displaystyle mathbb {Z} }至Z{displaystyle mathbb {Z} }的函數succ{displaystyle operatorname {succ} },其將每一個整數x{displaystyle x}連結至整數succ(x)=x+1{displaystyle operatorname {succ} (x)=x+1},這是一個雙射函數;再看一個例子,函數sumdif{displaystyle operatorname {sumdif} },其將每一對實數(x,y){displaystyle (x,y)}連結至sumdif(x,y)=(x+y,x−y){displaystyle operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)},這也是個雙射函數。
一雙射函數亦簡稱為雙射(英语:bijection)或置換。後者一般較常使用在X=Y{displaystyle X=Y}時。以由X{displaystyle X}至Y{displaystyle Y}的所有雙射組成的集合標記為X↔Y{displaystyle Xleftrightarrow Y}.
雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色,如在同構的定義(以及如同胚和微分同構等相關概念)、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。
目录
1 複合函數與反函數
2 雙射與勢
3 例子與反例
4 性質
5 雙射與範疇論
6 另見
7 參考文獻
8 外部連結
複合函數與反函數
一函數f{displaystyle f}為雙射的若且唯若其逆關係f−1{displaystyle f^{-1}}也是個函數。在這情況,f−1{displaystyle f^{-1}}也會是雙射函數。
兩個雙射函數f:X↔Y{displaystyle f:Xleftrightarrow Y}及g:Y↔Z{displaystyle g:Yleftrightarrow Z}的複合函數g∘f{displaystyle gcirc f}亦為雙射函數。其反函數為(g∘f)−1=(f−1)∘(g−1){displaystyle (gcirc f)^{-1}=(f^{-1})circ (g^{-1})}。
另一方面,若g∘f{displaystyle gcirc f}為雙射的,可知f{displaystyle f}是單射的且g{displaystyle g}是滿射的,但也僅限於此。
一由X{displaystyle X}至Y{displaystyle Y}的關係f{displaystyle f}為雙射函數若且唯若存在另一由Y{displaystyle Y}至X{displaystyle X}的關係g{displaystyle g},使得g∘f{displaystyle gcirc f}為X{displaystyle X}上的恆等函數,且f∘g{displaystyle fcirc g}為Y{displaystyle Y}上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的勢。
雙射與勢
若X{displaystyle X}和Y{displaystyle Y}為有限集合,則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裡,這正是「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,用以分辨無限集合的不同大小。
例子與反例
- 對任一集合X{displaystyle X},其恆等函數為雙射函數。
- 函數f:R→R{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} },其形式為f(x)=2x+1{displaystyle f(x)=2x+1},是雙射的,因為對任一y{displaystyle y},存在一唯一x=(y−1)/2{displaystyle x=(y-1)/2}使得f(x)=y{displaystyle f(x)=y}。
指數函數g:R→R{displaystyle g:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} },其形式為g(x)=ex{displaystyle g(x)=e^{x}},不是雙射的:因為不存在一R{displaystyle mathbb {R} }內的x{displaystyle x}使得g(x)=−1{displaystyle g(x)=-1},故g{displaystyle g}非為雙射。但若其陪域改成正實數R+=(0,+∞){displaystyle mathbb {R} ^{+}=(0,+infty )},則g{displaystyle g}便是雙射的了;其反函數為自然對數函數ln{displaystyle ln }。- 函數h{displaystyle h} : R→[0,+∞){displaystyle mathbb {R} rightarrow [0,+infty )},其形式為h(x)=x2{displaystyle h(x)=x^{2}},不是雙射的:因為h(−1)=h(1)=1{displaystyle h(-1)=h(1)=1},故h{displaystyle h}非為雙射。但如果把定義域也改成[0,+∞){displaystyle [0,+infty )},則h{displaystyle h}便是雙射的了;其反函數為正平方根函數。
R→R:x↦(x−1)x(x+1)=x3−x{displaystyle mathbb {R} to mathbb {R} :xmapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}不是雙射函數,因為−1,0{displaystyle -1,0}和1{displaystyle 1}都在其定義域裡且都映射至0{displaystyle 0}。
R→[−1,1]:x↦sin(x){displaystyle mathbb {R} to [-1,1]:xmapsto sin(x)}不是雙射函數,因為π/3{displaystyle pi /3}和2π/3{displaystyle pi /3}都在其定義域裡且都映射至3/2{displaystyle {sqrt {3}}/2}。
性質
- 一由實數R{displaystyle mathbb {R} }至R{displaystyle mathbb {R} }的函數f{displaystyle f}是雙射的,若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
- 設X{displaystyle X}為一集合,則由X{displaystyle X}至其本身的雙射函數,加上其複合函數「∘{displaystyle circ }」的運算,會形成一個群,即為X{displaystyle X}的對稱群,其標記為S(X){displaystyle {mathfrak {S}}(X)}、SX{displaystyle {mathfrak {S}}_{X}}或X!{displaystyle X!}。
- 取一定義域的子集A{displaystyle A}及一陪域的子集B{displaystyle B},則
|f(A)|=|A|{displaystyle |f(A)|=|A|} 且 |f−1(B)|=|B|{displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}。
- 若X{displaystyle X}和Y{displaystyle Y}為具相同勢的有限集合,且f:X→Y{displaystyle f:Xto Y},則下列三種說法是等價的:
f{displaystyle f} 為一雙射函數。
f{displaystyle f} 為一滿射函數。
f{displaystyle f} 為一單射函數。
- 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如y=x-3)
雙射與範疇論
形式上,雙射函數恰好是集合範疇內的同構。
另見
- 等势
- 單射
- 同構
- 置換
- 對稱群
- 满射
- 雙射計數法
- 水平线测试
參考文獻
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外部連結
维基共享资源中相关的多媒体资源:Bijectivity |
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- 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld.
- Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
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