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一个双射函数

數學中，一個由集合X{displaystyle X}映射至集合Y{displaystyle Y}的函數，若對每一在Y{displaystyle Y}內的y{displaystyle y}，存在唯一一個在X{displaystyle X}內的x{displaystyle x}与其对应，則此函數為對射函數。

換句話說，f{displaystyle f}為雙射的若其為兩集合間的一一對應，亦即同時為單射和滿射。

例如，由整數集合Z{displaystyle mathbb {Z} }至Z{displaystyle mathbb {Z} }的函數succ{displaystyle operatorname {succ} }，其將每一個整數x{displaystyle x}連結至整數succ⁡(x)=x+1{displaystyle operatorname {succ} (x)=x+1}，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數sumdif{displaystyle operatorname {sumdif} }，其將每一對實數(x,y){displaystyle (x,y)}連結至sumdif⁡(x,y)=(x+y,x−y){displaystyle operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)}，這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射（英语：bijection）或置換。後者一般較常使用在X=Y{displaystyle X=Y}時。以由X{displaystyle X}至Y{displaystyle Y}的所有雙射組成的集合標記為X↔Y{displaystyle Xleftrightarrow Y}.

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數f{displaystyle f}為雙射的若且唯若其逆關係f−1{displaystyle f^{-1}}也是個函數。在這情況，f−1{displaystyle f^{-1}}也會是雙射函數。

兩個雙射函數f:X↔Y{displaystyle f:Xleftrightarrow Y}及g:Y↔Z{displaystyle g:Yleftrightarrow Z}的複合函數g∘f{displaystyle gcirc f}亦為雙射函數。其反函數為(g∘f)−1=(f−1)∘(g−1){displaystyle (gcirc f)^{-1}=(f^{-1})circ (g^{-1})}。

一个複合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若g∘f{displaystyle gcirc f}為雙射的，可知f{displaystyle f}是單射的且g{displaystyle g}是滿射的，但也僅限於此。

一由X{displaystyle X}至Y{displaystyle Y}的關係f{displaystyle f}為雙射函數若且唯若存在另一由Y{displaystyle Y}至X{displaystyle X}的關係g{displaystyle g}，使得g∘f{displaystyle gcirc f}為X{displaystyle X}上的恆等函數，且f∘g{displaystyle fcirc g}為Y{displaystyle Y}上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢

若X{displaystyle X}和Y{displaystyle Y}為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

• 對任一集合X{displaystyle X}，其恆等函數為雙射函數。


• 函數f:R→R{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }，其形式為f(x)=2x+1{displaystyle f(x)=2x+1}，是雙射的，因為對任一y{displaystyle y}，存在一唯一x=(y−1)/2{displaystyle x=(y-1)/2}使得f(x)=y{displaystyle f(x)=y}。


• 
  指數函數g:R→R{displaystyle g:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }，其形式為g(x)=ex{displaystyle g(x)=e^{x}}，不是雙射的：因為不存在一R{displaystyle mathbb {R} }內的x{displaystyle x}使得g(x)=−1{displaystyle g(x)=-1}，故g{displaystyle g}非為雙射。但若其陪域改成正實數R+=(0,+∞){displaystyle mathbb {R} ^{+}=(0,+infty )}，則g{displaystyle g}便是雙射的了；其反函數為自然對數函數ln{displaystyle ln }。


• 函數h{displaystyle h} : R→[0,+∞){displaystyle mathbb {R} rightarrow [0,+infty )}，其形式為h(x)=x2{displaystyle h(x)=x^{2}}，不是雙射的：因為h(−1)=h(1)=1{displaystyle h(-1)=h(1)=1}，故h{displaystyle h}非為雙射。但如果把定義域也改成[0,+∞){displaystyle [0,+infty )}，則h{displaystyle h}便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。


• 
  R→R:x↦(x−1)x(x+1)=x3−x{displaystyle mathbb {R} to mathbb {R} :xmapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}不是雙射函數，因為−1,0{displaystyle -1,0}和1{displaystyle 1}都在其定義域裡且都映射至0{displaystyle 0}。


• 
  R→[−1,1]:x↦sin⁡(x){displaystyle mathbb {R} to [-1,1]:xmapsto sin(x)}不是雙射函數，因為π/3{displaystyle pi /3}和2π/3{displaystyle pi /3}都在其定義域裡且都映射至3/2{displaystyle {sqrt {3}}/2}。

性質

• 一由實數R{displaystyle mathbb {R} }至R{displaystyle mathbb {R} }的函數f{displaystyle f}是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。


• 設X{displaystyle X}為一集合，則由X{displaystyle X}至其本身的雙射函數，加上其複合函數「∘{displaystyle circ }」的運算，會形成一個群，即為X{displaystyle X}的對稱群，其標記為S(X){displaystyle {mathfrak {S}}(X)}、SX{displaystyle {mathfrak {S}}_{X}}或X!{displaystyle X!}。


• 取一定義域的子集A{displaystyle A}及一陪域的子集B{displaystyle B}，則

|f(A)|=|A|{displaystyle |f(A)|=|A|} 且 |f−1(B)|=|B|{displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}。

• 若X{displaystyle X}和Y{displaystyle Y}為具相同勢的有限集合，且f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}，則下列三種說法是等價的：

1. 
   f{displaystyle f} 為一雙射函數。


2. 
   f{displaystyle f} 為一滿射函數。


3. 
   f{displaystyle f} 為一單射函數。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数(例如y=x^-3)

雙射與範疇論

形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見

• 等势


• 單射


• 同構


• 置換


• 對稱群


• 满射


• 雙射計數法


• 水平线测试

參考文獻

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：Bijectivity

• 
  Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 


• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.

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