双射







一个双射函数


數學中,一個由集合X{displaystyle X}X映射至集合Y{displaystyle Y}Y的函數,若對每一在Y{displaystyle Y}Y內的y{displaystyle y}y,存在唯一一個在X{displaystyle X}X內的x{displaystyle x}x与其对应,則此函數為對射函數


換句話說,f{displaystyle f}f為雙射的若其為兩集合間的一一對應,亦即同時為單射和滿射。


例如,由整數集合Z{displaystyle mathbb {Z} }mathbb {Z} Z{displaystyle mathbb {Z} }mathbb {Z} 的函數succ{displaystyle operatorname {succ} }{displaystyle operatorname {succ} },其將每一個整數x{displaystyle x}x連結至整數succ⁡(x)=x+1{displaystyle operatorname {succ} (x)=x+1}{displaystyle operatorname {succ} (x)=x+1},這是一個雙射函數;再看一個例子,函數sumdif{displaystyle operatorname {sumdif} }{displaystyle operatorname {sumdif} },其將每一對實數(x,y){displaystyle (x,y)}(x,y)連結至sumdif⁡(x,y)=(x+y,x−y){displaystyle operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)}{displaystyle operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)},這也是個雙射函數。


一雙射函數亦簡稱為雙射英语:bijection)或置換。後者一般較常使用在X=Y{displaystyle X=Y}X=Y時。以由X{displaystyle X}XY{displaystyle Y}Y的所有雙射組成的集合標記為X↔Y{displaystyle Xleftrightarrow Y}{displaystyle Xleftrightarrow Y}.


雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色,如在同構的定義(以及如同胚和微分同構等相關概念)、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。




目录






  • 1 複合函數與反函數


  • 2 雙射與勢


  • 3 例子與反例


  • 4 性質


  • 5 雙射與範疇論


  • 6 另見


  • 7 參考文獻


  • 8 外部連結





複合函數與反函數


一函數f{displaystyle f}f為雙射的若且唯若其逆關係f−1{displaystyle f^{-1}}f^{{-1}}也是個函數。在這情況,f−1{displaystyle f^{-1}}f^{{-1}}也會是雙射函數。


兩個雙射函數f:X↔Y{displaystyle f:Xleftrightarrow Y}{displaystyle f:Xleftrightarrow Y}g:Y↔Z{displaystyle g:Yleftrightarrow Z}{displaystyle g:Yleftrightarrow Z}的複合函數g∘f{displaystyle gcirc f}gcirc f亦為雙射函數。其反函數為(g∘f)−1=(f−1)∘(g−1){displaystyle (gcirc f)^{-1}=(f^{-1})circ (g^{-1})}{displaystyle (gcirc f)^{-1}=(f^{-1})circ (g^{-1})}




一个複合所得的双射,左侧为单射,右侧为满射。


另一方面,若g∘f{displaystyle gcirc f}gcirc f為雙射的,可知f{displaystyle f}f是單射的且g{displaystyle g}g是滿射的,但也僅限於此。


一由X{displaystyle X}XY{displaystyle Y}Y的關係f{displaystyle f}f為雙射函數若且唯若存在另一由Y{displaystyle Y}YX{displaystyle X}X的關係g{displaystyle g}g,使得g∘f{displaystyle gcirc f}gcirc fX{displaystyle X}X上的恆等函數,且f∘g{displaystyle fcirc g}fcirc gY{displaystyle Y}Y上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的勢。



雙射與勢


X{displaystyle X}XY{displaystyle Y}Y為有限集合,則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裡,這正是「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,用以分辨無限集合的不同大小。



例子與反例



  • 對任一集合X{displaystyle X}X,其恆等函數為雙射函數。

  • 函數f:R→R{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} },其形式為f(x)=2x+1{displaystyle f(x)=2x+1}{displaystyle f(x)=2x+1},是雙射的,因為對任一y{displaystyle y}y,存在一唯一x=(y−1)/2{displaystyle x=(y-1)/2}{displaystyle x=(y-1)/2}使得f(x)=y{displaystyle f(x)=y}{displaystyle f(x)=y}


  • 指數函數g:R→R{displaystyle g:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }{displaystyle g:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} },其形式為g(x)=ex{displaystyle g(x)=e^{x}}{displaystyle g(x)=e^{x}},不是雙射的:因為不存在一R{displaystyle mathbb {R} }R內的x{displaystyle x}x使得g(x)=−1{displaystyle g(x)=-1}{displaystyle g(x)=-1},故g{displaystyle g}g非為雙射。但若其陪域改成正實數R+=(0,+∞){displaystyle mathbb {R} ^{+}=(0,+infty )}{displaystyle mathbb {R} ^{+}=(0,+infty )},則g{displaystyle g}g便是雙射的了;其反函數為自然對數函數ln{displaystyle ln }ln

  • 函數h{displaystyle h}h : R→[0,+∞){displaystyle mathbb {R} rightarrow [0,+infty )}{displaystyle mathbb {R} rightarrow [0,+infty )},其形式為h(x)=x2{displaystyle h(x)=x^{2}}h(x)=x^{2},不是雙射的:因為h(−1)=h(1)=1{displaystyle h(-1)=h(1)=1}{displaystyle h(-1)=h(1)=1},故h{displaystyle h}h非為雙射。但如果把定義域也改成[0,+∞){displaystyle [0,+infty )}{displaystyle [0,+infty )},則h{displaystyle h}h便是雙射的了;其反函數為正平方根函數。


  • R→R:x↦(x−1)x(x+1)=x3−x{displaystyle mathbb {R} to mathbb {R} :xmapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}{displaystyle mathbb {R} to mathbb {R} :xmapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}不是雙射函數,因為1,0{displaystyle -1,0}{displaystyle -1,0}1{displaystyle 1}1都在其定義域裡且都映射至0{displaystyle 0}{displaystyle 0}


  • R→[−1,1]:x↦sin⁡(x){displaystyle mathbb {R} to [-1,1]:xmapsto sin(x)}{displaystyle mathbb {R} to [-1,1]:xmapsto sin(x)}不是雙射函數,因為π/3{displaystyle pi /3}{displaystyle pi /3}和2π/3{displaystyle pi /3}{displaystyle pi /3}都在其定義域裡且都映射至3/2{displaystyle {sqrt {3}}/2}{sqrt  {3}}/2



性質



  • 一由實數R{displaystyle mathbb {R} }mathbb {R} R{displaystyle mathbb {R} }mathbb {R} 的函數f{displaystyle f}f是雙射的,若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。

  • X{displaystyle X}X為一集合,則由X{displaystyle X}X至其本身的雙射函數,加上其複合函數「{displaystyle circ }circ」的運算,會形成一個群,即為X{displaystyle X}X的對稱群,其標記為S(X){displaystyle {mathfrak {S}}(X)}{displaystyle {mathfrak {S}}(X)}SX{displaystyle {mathfrak {S}}_{X}}{displaystyle {mathfrak {S}}_{X}}X!{displaystyle X!}{displaystyle X!}

  • 取一定義域的子集A{displaystyle A}A及一陪域的子集B{displaystyle B}B,則



|f(A)|=|A|{displaystyle |f(A)|=|A|}{displaystyle |f(A)|=|A|}|f−1(B)|=|B|{displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}{displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}

  • X{displaystyle X}XY{displaystyle Y}Y為具相同勢的有限集合,且f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}{displaystyle f:Xto Y},則下列三種說法是等價的:



  1. f{displaystyle f}f 為一雙射函數。


  2. f{displaystyle f}f 為一滿射函數。


  3. f{displaystyle f}f 為一單射函數。


  • 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如y=x-3)


雙射與範疇論


形式上,雙射函數恰好是集合範疇內的同構。



另見



  • 等势

  • 單射

  • 同構

  • 置換

  • 對稱群

  • 满射

  • 雙射計數法

  • 水平线测试



參考文獻


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外部連結








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  • 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 

  • Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.





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