希尔伯特空间
希爾伯特空間可以用來研究振動的弦的諧波。
在数学裡，希尔伯特空间（英语：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是說一個帶有內積的完備向量空間。希尔伯特空间是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于實數的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公設化数学和量子力学的关键性概念之一。
目录
1 简单介绍
2 定义
3 常见的例子
3.1 欧几里得空间
3.2 序列空间
3.3 勒贝格空间
3.4 索伯列夫空间
4 希尔伯特空间的相互作用
5 性質
5.1 畢達哥拉斯恆等式
5.2 平行四邊形恆等式和極化恆等式
5.3 最佳逼近
5.4 對偶性
5.5 弱收斂序列
5.6 巴拿赫空間的性質
6 希尔伯特空间的基
7 请参见
8 注解和引用
简单介绍
希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界自伴算子的著作中[1]，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特[2]和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Eugene Wigner）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》[3]（The Theory of Groups and Quantum Mechanics）中就使用了这一名词。
一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个複希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学表述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。
定义
在一个複數向量空间H{displaystyle H}
- ‖x‖=⟨x,x⟩{displaystyle Vert xVert ={sqrt {langle x,xrangle }}}
- ‖x‖=⟨x,x⟩{displaystyle Vert xVert ={sqrt {langle x,xrangle }}}
此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0{displaystyle 0}
任何有限维内积空间（如欧几里得空间及其上的点积）都是希尔伯特空间[來源請求]。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值，例如
酉群（unitary group）的表示论。
- 平方可积的随机过程理论。
偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。
- 函数的谱分析及小波理论。
量子力学的数学描述。
内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。
傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。
常见的例子
在以下例子中，假设所有的希尔伯特空间都是複數，尽管实际应用中大多是實數。
欧几里得空间
Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}}
- ⟨x,y⟩=∑k=1nxk¯yk{displaystyle langle x,yrangle =sum _{k=1}^{n}{overline {x_{k}}}y_{k}}
- ⟨x,y⟩=∑k=1nxk¯yk{displaystyle langle x,yrangle =sum _{k=1}^{n}{overline {x_{k}}}y_{k}}
构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。
序列空间
更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设B{displaystyle B}
- ℓ2(B)={x:B→C|∑b∈B|x(b)|2<∞}{displaystyle ell ^{2}(B)=left{x:Brightarrow mathbb {C} ,{bigg |},sum _{bin B}left|xleft(bright)right|^{2}<infty right}}
- ℓ2(B)={x:B→C|∑b∈B|x(b)|2<∞}{displaystyle ell ^{2}(B)=left{x:Brightarrow mathbb {C} ,{bigg |},sum _{bin B}left|xleft(bright)right|^{2}<infty right}}
此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：
- ⟨x,y⟩=∑b∈Bx(b)¯y(b){displaystyle langle x,yrangle =sum _{bin B}{overline {x(b)}}y(b)}
- ⟨x,y⟩=∑b∈Bx(b)¯y(b){displaystyle langle x,yrangle =sum _{bin B}{overline {x(b)}}y(b)}
其中x{displaystyle x}
勒贝格空间
勒贝格空间( 這裡指 L2(X){displaystyle L^{2}(X)}
更仔細的說，L2(X,μ){displaystyle L^{2}(X,mu )}
此时两个函数f{displaystyle f}
- ⟨f,g⟩=∫Xf(t)¯g(t) dμ(t){displaystyle langle f,grangle =int _{X}{overline {f(t)}}g(t) dmu (t)}
- ⟨f,g⟩=∫Xf(t)¯g(t) dμ(t){displaystyle langle f,grangle =int _{X}{overline {f(t)}}g(t) dmu (t)}
- 因為 f,g∈L2(X){displaystyle f,gin L^{2}(X)}
，所以這內積的定義沒有問題。
但需要证明的是：
- 此空间在此内积下是完备的。
这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于Lp{displaystyle L^{p}}
索伯列夫空间
索伯列夫空间一般表示为Hs{displaystyle H^{s}}
希尔伯特空间的相互作用
给定任意两个（或更多）希尔伯特空间，利用直和或张量积的方式，可以给出一个更大的希尔伯特空间。
性質
畢達哥拉斯恆等式
在希爾伯特空間 H 中，若兩支向量 u 和 v 滿足 〈u,v〉 = 0，則稱它們正交，記為 u ⊥ v. 更一般地，若 S 是 H 的子集，則 u ⊥ S 表示 u 與 S 的每個元素都正交。
當 u 和 v 正交時，就有
- ‖u+v‖2=⟨u+v,u+v⟩=⟨u,u⟩+2Re⟨u,v⟩+⟨v,v⟩=‖u‖2+‖v‖2.{displaystyle |u+v|^{2}=langle u+v,u+vrangle =langle u,urangle +2,operatorname {Re} langle u,vrangle +langle v,vrangle =|u|^{2}+|v|^{2},.}
對 n 使用數學歸納法，上式可以推廣到對任意 n 支正交向量 u1, ..., un 成立，即
- ‖u1+⋯+un‖2=‖u1‖2+⋯+‖un‖2.{displaystyle |u_{1}+cdots +u_{n}|^{2}=|u_{1}|^{2}+cdots +|u_{n}|^{2},.}
畢達哥拉斯恆等式對每個內積空間都成立，但希爾伯特空間具有完備性，故此恆等式可推廣到對級數成立。一列 正交 向量組成的級數 ∑uk 在 H 中收斂當且僅當各項範數平方組成的級數收斂，且此時
- ‖∑k=0∞uk‖2=∑k=0∞‖uk‖2.{displaystyle left|sum _{k=0}^{infty }u_{k}right|^{2}=sum _{k=0}^{infty }left|u_{k}right|^{2},.}
此外，正交向量的級數和與求和順序無關。
平行四邊形恆等式和極化恆等式
幾何上，平行四邊形恆等式給出 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2). 換言之，兩對角線的平方和等於兩鄰邊平方和的兩倍。
由定義，每個希爾伯特空間都是巴拿赫空間。 而在每個希爾伯特空間中，以下平行四邊形恆等式成立:
- ‖u+v‖2+‖u−v‖2=2(‖u‖2+‖v‖2).{displaystyle |u+v|^{2}+|u-v|^{2}=2left(|u|^{2}+|v|^{2}right),.}
反之，若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式，則其亦為希爾伯特空間，因為它的內積可由極化恆等式唯一確定。[4] 對實希爾伯特空間，極化恆等式是
- ⟨u,v⟩=14(‖u+v‖2−‖u−v‖2).{displaystyle langle u,vrangle ={tfrac {1}{4}}left(|u+v|^{2}-|u-v|^{2}right),.}
而對複希爾伯特空間，其為
- ⟨u,v⟩=14(‖u+v‖2−‖u−v‖2+i‖u+iv‖2−i‖u−iv‖2).{displaystyle langle u,vrangle ={tfrac {1}{4}}left(|u+v|^{2}-|u-v|^{2}+i|u+iv|^{2}-i|u-iv|^{2}right),.}
由平行四邊形恆等式，可以推出任何希爾伯特空間都是一致凸巴拿赫空間。[5]
最佳逼近
根據希爾伯特射影定理，若 C 是希爾伯特空間 H 的非空閉凸子集，x為 H 的任一點，則存在唯一的 y ∈ C 使其到 x 的距離是各個 C 中的點到 x 的距離中最小的，即[6]
- y∈C,‖x−y‖=dist(x,C)=min{‖x−z‖:z∈C}.{displaystyle yin C,,quad |x-y|=operatorname {dist} (x,C)=min{|x-z|:zin C},.}
此等價於經平移的凸集 D = C − x 中有範數最小的元素。欲證之，可先證明對每個序列 (dn) ⊂ D，若各項範數趨向於D中範數的下確界，則其為柯西序列（利用平行四邊形恆等式），故由完備性知其收斂到D 的某點。此結論對任意一致凸巴拿赫空間均適用。[7]
當對 H 的閉子空間 F 應用此結論時，可以證明最靠近 x 的點 y ∈ F 滿足[8]
- y∈F,x−y⊥F.{displaystyle yin F,,quad x-yperp F,.}
該點 y 稱為 x 到 F 上的 正交射影 ，而這給出的映射 PF : x ↦ y 是線性的。此結論於應用數學有用，而數值分析尤甚，因這結論是最小二乘法的基礎。 [9]
特別到，當 F 不等於 H 時，可找到一支非零向量 v 與 F 正交（選 x ∉ F 並考慮 v = x − y）。由此得到一個有用的判定條件：
H 的子集 S 線性生成一個稠密的子空間當且僅當向量 0 是 H 中與 S 正交的唯一向量。
對偶性
对偶空间 H* 是所有由H 到其系數域的連續線性函數組成的空間。 其具有一個自然的範數，由下式給出：
- ‖φ‖=sup‖x‖=1,x∈H|φ(x)|.{displaystyle |varphi |=sup _{|x|=1,xin H}|varphi (x)|,.}
這滿足平行四邊形恆等式，故對偶空間亦為一個內積空間。同時它也是完備的，所以希爾伯特空間的對偶空間也是希爾伯特空間。
里斯表示定理 描述了這個對偶空間。 對每個 H 的元素 u ， H* 中有唯一的 φu 滿足
- φu(x)=⟨x,u⟩.{displaystyle varphi _{u}(x)=langle x,urangle ,.}
則 u ↦ φu 是從 H 到 H* 的反线性映射。里斯表示定理說此映射是個反線性同構。 [10] 所以對每個 H* 的元素 φ，都存在唯一的 uφ ∈ H 使得
- ⟨x,uφ⟩=φ(x){displaystyle langle x,u_{varphi }rangle =varphi (x)}
對任意 x ∈ H 都成立。 對偶空間 H* 上的內積滿足
- ⟨φ,ψ⟩=⟨uψ,uφ⟩.{displaystyle langle varphi ,psi rangle =langle u_{psi },u_{varphi }rangle ,.}
注意右邊的次序反轉了，才使 uφ 的反線性變回上述內積對 φ 的線性。當 H 是實希爾伯特空間時，從 H 到其對偶的反線性同構實際上是一般的同構，所以實希爾伯特空間自然地與其對偶同構。
表示 φ 的向量 uφ 可藉下列方法找到。 當 φ ≠ 0 時， 核 F = Ker(φ) 是 H 的閉子空間，且不等於 H ，故存在非零向量 v 與 F 正交。 取向量 u 為 v 的純量倍 λv，於是條件 φ(v) = ⟨v,u⟩ 給出
- u=⟨v,v⟩−1φ(v)¯v.{displaystyle u=langle v,vrangle ^{-1},{overline {varphi (v)}},v,.}
物理學上廣泛應用的狄拉克符号正正利用了φ ↔ u 的對應關係。 物理學家通常約定，內積 ⟨x|y⟩ 對右邊的運算元線性，即
- ⟨x|y⟩=⟨y,x⟩.{displaystyle langle x|yrangle =langle y,xrangle ,.}
於是 ⟨x|y⟩ 可以視為線性泛函 ⟨x| （稱為 左矢 ）作用在向量 |y⟩ （稱為 右矢 ）的結果。
里斯表示定理要求空間的完備性。事實上，從定理可知任意內積空間的拓撲對偶都與其完備化空間同構。作為里斯表示定理的直接推論， 希爾伯特空間 H 是 自反空间, 即由 H 到其對偶之對偶的自然映射是同構。
弱收斂序列
在希爾伯特空間 H 中，若序列 {xn} 滿足對任意的 v ∈ H, 都有
- limn⟨xn,v⟩=⟨x,v⟩,{displaystyle lim _{n}langle x_{n},vrangle =langle x,vrangle ,}
則稱該序列弱收斂到向量 x ∈ H.
例如，任何正交序列 {fn} 都弱收斂到 0. 此為贝塞尔不等式的結果。根據一致有界原理，每個弱收斂序列 {xn} 都有界。
反之，希爾伯特空間中的每個有界序列，都有一個弱收斂子序列，此謂巴拿赫-阿拉奧盧定理。[11] 這可用作證明某些連續凸泛函的最小值的存在性，正如波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理適用於 ℝd 上的連續函數。一個較簡單的結果是：[12]
- 若 f : H → ℝ 為凸的連續函數，使得當 ‖x‖ 趨向於 ∞ 時，就有 f(x) 趨向於 +∞，則 f 在某點 x0 ∈ H 取得最小值。
此個結論（並其若干推廣）是变分法中直接法的基礎。更抽象地說，凸泛函的最小值存在，也是因為希爾伯特空間 H 上的閉有界凸集均為弱緊集（因為 H 是自反空間）。弱收斂子序列的存在性是 Eberlein–Šmulian theorem 的特殊情況。
巴拿赫空間的性質
希尔伯特空间的基
希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基，即其上的一族函数{ek}k∈B{displaystyle {e_{k}}_{kin B}}
- 所有元素都是单位化的：即对于任意x{displaystyle x}
，∀k∈B{displaystyle forall kin B}
。
- 所有元素彼此正交：若x{displaystyle x}
。
- 其线性扩张稠密：即其中的所有元素的有限的线性组合是H{displaystyle H}
有时也使用标准正交列或标准正交集指代。
标准正交基的一些实例：
集合（{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}{displaystyle {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}}）
请参见
完备的度量空间或完备的距离空间
- 完备的赋范空间
- n维欧几里得空间
注解和引用
^ Von Neumann, John. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. Mathematische Annalen. 1929, 102: 49–131.
^ Hilbert, David; Lothar Nordheim and John von Neumann. Über die Grundlagen der Quantenmechanik. Mathematische Annalen. 1927, 98: 1–30. 引文使用过时参数coauthors (帮助)[永久失效連結]
^ Weyl, Hermann. The Theory of Groups and Quantum Mechanics English edition (1950). Dover Press. 1931. ISBN 978-0-486-60269-1.
^ Young 1988，第23页.
^ Clarkson 1936.
^ Rudin 1987，Theorem 4.10
^ Dunford & Schwartz 1958，II.4.29
^ Rudin 1987，Theorem 4.11
^ Blanchet, Gérard; Charbit, Maurice. Digital Signal and Image Processing Using MATLAB. Digital Signal and Image Processing 1 Second. New Jersey: Wiley. 2014: 349–360. ISBN 978-1848216402.
^ Weidmann 1980，Theorem 4.8
^ Weidmann 1980，§4.5
^ Buttazzo，Giaquinta & Hildebrandt（1998），Theorem 5.17
- Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960.
B.M. Levitan, Hilbert space, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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