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球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為

−ℏ22μ∇2ψ+V(r)ψ=Eψ{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2mu }}nabla ^{2}psi +V(r)psi =Epsi }；

其中，ℏ{displaystyle hbar }是普朗克常數，μ{displaystyle mu }是粒子的質量，ψ{displaystyle psi }是粒子的波函數，V{displaystyle V}是位勢，r{displaystyle r}是徑向距離，E{displaystyle E}是能量。

由於球對稱位勢V(r){displaystyle V(r)}只與徑向距離有關，與天頂角θ{displaystyle theta }、方位角ϕ{displaystyle phi }無關，為了便利分析，可以採用球坐標(r, θ, ϕ){displaystyle (r, theta , phi )}來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。

薛丁格方程式

採用球坐標(r, θ, ϕ){displaystyle (r, theta , phi )}，將拉普拉斯算子∇2{displaystyle nabla ^{2}}展開：

−ℏ22μr2{∂∂r(r2∂∂r)+1sin2⁡θ[sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+∂2∂ϕ2]}ψ+V(r)ψ=Eψ{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2mu r^{2}}}left{{frac {partial }{partial r}}left(r^{2}{frac {partial }{partial r}}right)+{frac {1}{sin ^{2}theta }}left[sin theta {frac {partial }{partial theta }}left(sin theta {frac {partial }{partial theta }}right)+{frac {partial ^{2}}{partial phi ^{2}}}right]right}psi +V(r)psi =Epsi }。

滿足薛丁格方程式的本徵函數ψ{displaystyle psi }的形式為：

ψ(r, θ, ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){displaystyle psi (r, theta , phi )=R(r)Theta (theta )Phi (phi )}，

其中，R(r){displaystyle R(r)}，Θ(θ){displaystyle Theta (theta )}，Φ(ϕ){displaystyle Phi (phi )}，都是函數。Θ(θ){displaystyle Theta (theta )}與Φ(ϕ){displaystyle Phi (phi )}時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，Ylm(θ, ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ){displaystyle Y_{lm}(theta , phi )=Theta (theta )Phi (phi )}。這樣，本徵函數ψ{displaystyle psi }的形式變為：

ψ(r, θ, ϕ)=R(r)Ylm(θ, ϕ){displaystyle psi (r, theta , phi )=R(r)Y_{lm}(theta , phi )}。

角部分解答

參數為天頂角θ{displaystyle theta }、方位角ϕ{displaystyle phi }的球諧函數Ylm{displaystyle Y_{lm}}，滿足角部分方程式

−1sin2⁡θ[sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+∂2∂ϕ2]Ylm(θ,ϕ)=l(l+1)Ylm(θ,ϕ){displaystyle -{frac {1}{sin ^{2}theta }}left[sin theta {frac {partial }{partial theta }}{Big (}sin theta {frac {partial }{partial theta }}{Big )}+{frac {partial ^{2}}{partial phi ^{2}}}right]Y_{lm}(theta ,phi )=l(l+1)Y_{lm}(theta ,phi )}；

其中，非負整數l{displaystyle l}是角動量的角量子數。m{displaystyle m}（滿足−l≤m≤l{displaystyle -lleq mleq l}）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的l{displaystyle l}與m{displaystyle m}給予不同的球諧函數解答Ylm{displaystyle Y_{lm}}：

Ylm(θ, ϕ)=(i)m+|m|(2l+1)4π(l−|m|)!(l+|m|)!Plm(cos⁡θ)eimϕ{displaystyle Y_{lm}(theta , phi )=(i)^{m+|m|}{sqrt {{(2l+1) over 4pi }{(l-|m|)! over (l+|m|)!}}},P_{lm}(cos {theta }),e^{imphi }}；

其中，i{displaystyle i}是虛數單位，Plm(cos⁡θ){displaystyle P_{lm}(cos {theta })}是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

Plm(x)=(1−x2)|m|/2 d|m|dx|m|Pl(x){displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2} {frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)}；

而Pl(x){displaystyle P_{l}(x)}是l{displaystyle l}階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

Pl(x)=12ll!dldxl(x2−1)l{displaystyle P_{l}(x)={1 over 2^{l}l!}{d^{l} over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}}。

徑向部分解答

將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：

{−ℏ22μr2ddr(r2ddr)+ℏ2l(l+1)2μr2+V(r)}R(r)=ER(r){displaystyle left{-{hbar ^{2} over 2mu r^{2}}{d over dr}left(r^{2}{d over dr}right)+{hbar ^{2}l(l+1) over 2mu r^{2}}+V(r)right}R(r)=ER(r)}。(1)

設定函數u(r)=rR(r){displaystyle u(r)=rR(r)}。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

−ℏ22μd2u(r)dr2+ℏ2l(l+1)2μr2u(r)+V(r)u(r)=Eu(r){displaystyle -{hbar ^{2} over 2mu }{d^{2}u(r) over dr^{2}}+{hbar ^{2}l(l+1) over 2mu r^{2}}u(r)+V(r)u(r)=Eu(r)}。(2)

徑向方程式變為

−ℏ22μd2u(r)dr2+Veff(r)u(r)=Eu(r){displaystyle -{hbar ^{2} over 2mu }{d^{2}u(r) over dr^{2}}+V_{mathrm {eff} }(r)u(r)=Eu(r)}；(3)

其中，有效位勢Veff(r)=V(r)+ℏ2l(l+1)2μr2{displaystyle V_{mathrm {eff} }(r)=V(r)+{frac {hbar ^{2}l(l+1)}{2mu r^{2}}}}。

這正是函數為u(r){displaystyle u(r)}，有效位勢為Veff{displaystyle V_{mathrm {eff} }}的薛丁格方程式。徑向距離r{displaystyle r}的定義域是從0{displaystyle 0}到∞{displaystyle infty }。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

實例

在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：

1. 
   V(r)=0{displaystyle V(r)=0}：原方程變為亥姆霍兹方程(∇2+2μEℏ2)A=0{displaystyle (nabla ^{2}+{frac {2mu E}{hbar ^{2}}})A=0}，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。


2. 當r<r0{displaystyle r<r_{0}}時，V(r)=0{displaystyle V(r)=0}；否則，V(r)=∞{displaystyle V(r)=infty }：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。


3. 
   V(r)∝r2{displaystyle V(r)propto r^{2}}：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。


4. 
   V(r)∝1/r{displaystyle V(r)propto 1/r}：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。

真空狀況實例

思考V(r)=0{displaystyle V(r)=0}的狀況，設定k =def 2μEℏ2{displaystyle k {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {2mu E over hbar ^{2}}}}，在設定無因次的變數

ρ =def kr{displaystyle rho {stackrel {mathrm {def} }{=}} kr}。

代入方程式(2)，定義J(ρ) =def ρR(r){displaystyle J(rho ) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {rho }}R(r)}，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式：

ρ2d2Jdρ2+ρdJdρ+[ρ2−(l+12)2]J=0{displaystyle rho ^{2}{d^{2}J over drho ^{2}}+rho {dJ over drho }+left[rho ^{2}-left(l+{frac {1}{2}}right)^{2}right]J=0}。

貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數Jl+1/2(ρ){displaystyle J_{l+1/2}(rho )}；而R(r){displaystyle R(r)}是第一類球貝塞爾函數
（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）：

R(r)=jl(kr) =def π/(2kr)Jl+1/2(kr){displaystyle R(r)=j_{l}(kr) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {pi /(2kr)}}J_{l+1/2}(kr)}。(4)

在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程（即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：

ψ(r, θ, ϕ)=Akljl(kr)Ylm(θ,ϕ){displaystyle psi (r, theta , phi )=A_{kl}j_{l}(kr)Y_{lm}(theta ,phi )}；

其中，歸一常數Akl=2πk{displaystyle A_{kl}={sqrt {frac {2}{pi }}},k}，l{displaystyle l}是非負整數，m{displaystyle m}是整數，−l≤m≤l{displaystyle -lleq mleq l}，k{displaystyle k}是實數，k≥0{displaystyle kgeq 0}。

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

1=Akl2∫0∞ r2jl2(kr) dr{displaystyle 1=A_{kl}^{2}int _{0}^{infty } r^{2}j_{l}^{2}(kr) dr}。

根據球貝塞爾函數的封閉方程式，

∫0∞ x2jα(k1x)jα(k2x) dx=π2k12δ(k1−k2){displaystyle int _{0}^{infty } x^{2}j_{alpha }(k_{1}x)j_{alpha }(k_{2}x) dx={frac {pi }{2k_{1}^{2}}}delta (k_{1}-k_{2})}；

其中，α>0{displaystyle alpha >0}，δk{displaystyle delta _{k}}为克罗内克δ。

所以，1=Akl2π2k2{displaystyle 1=A_{kl}^{2}{frac {pi }{2k^{2}}}}。取平方根，歸一常數Akl=2πk{displaystyle A_{kl}={sqrt {frac {2}{pi }}},k}。

球對稱的三維無限深方形位勢阱

球貝塞爾函數jl(x){displaystyle j_{l}(x)}。

思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：

V(r)={0,if r≤r0∞,if r>r0{displaystyle V(r)={begin{cases}0,&{mbox{if }}rleq r_{0}\infty ,&{mbox{if }}r>r_{0}end{cases}}}。

其中，r0{displaystyle r_{0}}是球對稱阱的半徑。

立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數R(r)=jl(kr){displaystyle R(r)=j_{l}(kr)}。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標r=r0{displaystyle r=r_{0}}之處必須等於0：

jl(kr0)=0{displaystyle j_{l}(kr_{0})=0}。

設定ξnl{displaystyle xi _{nl}}為l{displaystyle l}階球貝塞爾函數jl{displaystyle j_{l}}的第n{displaystyle n}個0點，則knlr0=ξnl{displaystyle k_{nl}r_{0}=xi _{nl}}。

那麼，離散的能級Enl{displaystyle E_{nl}}為

Enl=ℏ2knl22μ=ℏ2ξnl22μr02{displaystyle E_{nl}={frac {hbar ^{2}k_{nl}^{2}}{2mu }}={frac {hbar ^{2}xi _{nl}^{2}}{2mu r_{0}^{2}}}}。

薛丁格方程式的整個解答是

ψnlm(r, θ, ϕ)=Anljl(ξnlr/r0)Ylm(θ, ϕ){displaystyle psi _{nlm}(r, theta , phi )=A_{nl}j_{l}(xi _{nl},r/r_{0}),Y_{lm}(theta , phi )}；

其中，歸一常數Anl=(2r03)1/21jl+1(ξnl){displaystyle A_{nl}=left({frac {2}{r_{0}^{3}}}right)^{1/2}{frac {1}{j_{l+1}(xi _{nl})}}}。

波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

1=Anl2∫0r0 r2jl2(knlr) dr{displaystyle 1=A_{nl}^{2}int _{0}^{r_{0}} r^{2}j_{l}^{2}(k_{nl}r) dr}；

將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分：

1=Anl2∫0r0 r2 π2knlr Jl+1/22(knlr) dr=Anl2π2knl∫0r0 rJl+1/22(knlr) dr{displaystyle 1=A_{nl}^{2}int _{0}^{r_{0}} r^{2} {frac {pi }{2k_{nl}r}} J_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r) dr=A_{nl}^{2}{frac {pi }{2k_{nl}}}int _{0}^{r_{0}} rJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r) dr}。

設定變數x=r/r0{displaystyle x=r/r_{0}}，代入積分：

1=Anl2πr022knl∫01 xJl+1/22(knlr0x) dx=Anl2πr032ξnl∫01 xJl+1/22(ξnlx) dx{displaystyle 1=A_{nl}^{2}{frac {pi r_{0}^{2}}{2k_{nl}}}int _{0}^{1} xJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r_{0}x) dx=A_{nl}^{2}{frac {pi r_{0}^{3}}{2xi _{nl}}}int _{0}^{1} xJ_{l+1/2}^{2}(xi _{nl}x) dx}。

根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，

∫01xJα(xξmα)Jα(xξnα)dx=δmn2Jα+1(ξnα)2{displaystyle int _{0}^{1}xJ_{alpha }(xxi _{malpha })J_{alpha }(xxi _{nalpha })dx={frac {delta _{mn}}{2}}J_{alpha +1}(xi _{nalpha })^{2}}；

其中，α>−1{displaystyle alpha >-1}，δmn{displaystyle delta _{mn}}为克罗内克δ，ξnα{displaystyle xi _{nalpha }}表示Jα(x){displaystyle J_{alpha }(x)}的第n{displaystyle n}個0點。

注意到jl(x){displaystyle j_{l}(x)}的第n{displaystyle n}個0點ξnl{displaystyle xi _{nl}}也是Jl+1/2(x){displaystyle J_{l+1/2}(x)}的第n{displaystyle n}個0點。所以，

1=Anl2 πr034ξnl Jl+3/22(ξnl)=Anl2 r032 jl+12(ξnl){displaystyle 1=A_{nl}^{2} {frac {pi r_{0}^{3}}{4xi _{nl}}} J_{l+3/2}^{2}(xi _{nl})=A_{nl}^{2} {frac {r_{0}^{3}}{2}} j_{l+1}^{2}(xi _{nl})}。

取平方根，歸一常數Anl=(2r03)1/21jl+1(ξnl){displaystyle A_{nl}=left({frac {2}{r_{0}^{3}}}right)^{1/2}{frac {1}{j_{l+1}(xi _{nl})}}}。

三維均向諧振子

三維均向諧振子的位勢為

V(r)=12μω2r2{displaystyle V(r)={tfrac {1}{2}}mu omega ^{2}r^{2}}；

其中，ω{displaystyle omega }是角頻率。

用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是

En=ℏω(n+N2)withn=0,1,…,∞,{displaystyle E_{n}=hbar omega (n+{tfrac {N}{2}})quad {hbox{with}}quad n=0,1,ldots ,infty ,}。

所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是

[−ℏ22μd2dr2+ℏ2l(l+1)2μr2+12μω2r2−ℏω(n+32)]u(r)=0{displaystyle left[-{hbar ^{2} over 2mu }{d^{2} over dr^{2}}+{hbar ^{2}l(l+1) over 2mu r^{2}}+{frac {1}{2}}mu omega ^{2}r^{2}-hbar omega (n+{frac {3}{2}})right]u(r)=0}。(5)

設定常數γ{displaystyle gamma }，

γ≡μωℏ{displaystyle gamma equiv {frac {mu omega }{hbar }}}。

回想u(r)=rR(r){displaystyle u(r)=rR(r)}，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：

Rnl(r)=Nnlrle−12γr2L12(n−l)(l+12)(γr2){displaystyle R_{nl}(r)=N_{nl},r^{l},e^{-{frac {1}{2}}gamma r^{2}};L_{{frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{frac {1}{2}})}(gamma r^{2})}；

其中，函數Lk(α)(γr2){displaystyle L_{k}^{(alpha )}(gamma r^{2})}是广义拉盖尔多项式，Nnl{displaystyle N_{nl}}是歸一化常數：

Nnl=[2n+l+2γl+32π12]12[[12(n−l)]![12(n+l)]!(n+l+1)!]12{displaystyle N_{nl}=left[{frac {2^{n+l+2},gamma ^{l+{frac {3}{2}}}}{pi ^{frac {1}{2}}}}right]^{frac {1}{2}}left[{frac {[{frac {1}{2}}(n-l)]!;[{frac {1}{2}}(n+l)]!}{(n+l+1)!}}right]^{frac {1}{2}}}。

本徵能級En{displaystyle E_{n}}的本徵函數Rnl{displaystyle R_{nl}}，乘以球諧函數Ylm(θ,ϕ){displaystyle Y_{lm}(theta ,phi )}，就是薛丁格方程式的整個解答：

ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ, ϕ){displaystyle psi _{nlm}=R_{nl}(r),Y_{lm}(theta , phi )}；

其中l=n, n−2, …, lmin{displaystyle l=n, n-2, ldots , l_{mathrm {min} }}。假若n{displaystyle n}是偶數，設定lmin=0{displaystyle l_{mathrm {min} }=0}；否則，設定lmin=1{displaystyle l_{mathrm {min} }=1}。

導引

在這導引裏，徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後，就是所要的答案。

首先，將徑向坐標無因次化，設定變數y=γr{displaystyle y={sqrt {gamma }}r}；其中，γ≡μωℏ{displaystyle gamma equiv {frac {mu omega }{hbar }}}。則方程式(5)變為

[d2dy2−l(l+1)y2−y2+2n−3]v(y)=0{displaystyle left[{d^{2} over dy^{2}}-{l(l+1) over y^{2}}-y^{2}+2n-3right]v(y)=0}；(6)

其中，v(y)=u(y/γ){displaystyle v(y)=uleft(y/{sqrt {gamma }}right)}是新的函數。

當y{displaystyle y}接近0時，方程式(6)最顯著的項目是

[d2dy2−l(l+1)y2]v(y)=0{displaystyle left[{d^{2} over dy^{2}}-{l(l+1) over y^{2}}right]v(y)=0}。

所以，v(y){displaystyle v(y)}與yl+1{displaystyle y^{l+1}}成正比。

又當y{displaystyle y}無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是

[d2dy2−y2]v(y)=0{displaystyle left[{d^{2} over dy^{2}}-y^{2}right]v(y)=0}。

因此，v(y){displaystyle v(y)}與e−y2/2{displaystyle e^{-y^{2}/2}}成正比。

為了除去v(y){displaystyle v(y)}在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用v(y){displaystyle v(y)}的替換方程式：

v(y)=yl+1e−y2/2f(y){displaystyle v(y)=y^{l+1}e^{-y^{2}/2}f(y)}。

經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為

[d2dy2+2(l+1y−y)ddy+2n−2l]f(y)=0{displaystyle left[{d^{2} over dy^{2}}+2left({frac {l+1}{y}}-yright){frac {d}{dy}}+2n-2lright]f(y)=0}。(7)

轉換為广义拉盖尔方程式

設定變數x=y2{displaystyle x=y^{2}}，則微分算子為

ddy=dxdyddx=2yddx=2xddx{displaystyle {frac {d}{dy}}={frac {dx}{dy}}{frac {d}{dx}}=2y{frac {d}{dx}}=2{sqrt {x}}{frac {d}{dx}}}，

d2dy2=ddy(2yddx)=4xd2dx2+2ddx{displaystyle {frac {d^{2}}{dy^{2}}}={frac {d}{dy}}left(2y{frac {d}{dx}}right)=4x{frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{frac {d}{dx}}}。

代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：

xd2gdx2+((l+12)+1−x)dgdx+12(n−l)g(x)=0{displaystyle x{frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{Big (}(l+{tfrac {1}{2}})+1-x{Big )}{frac {dg}{dx}}+{tfrac {1}{2}}(n-l)g(x)=0}；

其中，函數g(x)≡f(x){displaystyle g(x)equiv f({sqrt {x}})}。

假若，k≡(n−l)/2{displaystyle kequiv (n-l)/2}是一個非負整數，則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：

g(x)=Lk(l+12)(x){displaystyle g(x)=L_{k}^{(l+{frac {1}{2}})}(x)}。

因為k{displaystyle k}是非負整數，要求

1. 
   n≥l{displaystyle ngeq l}。


2. 
   n{displaystyle n}與l{displaystyle l}同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述l{displaystyle l}必須遵守的條件。

波函數歸一化

回憶到u(r)=rR(r){displaystyle u(r)=rR(r)}，徑向函數可以表達為

Rnl(r)=Nnlrle−12γr2L12(n−l)(l+12)(γr2){displaystyle R_{nl}(r)=N_{nl},r^{l},e^{-{frac {1}{2}}gamma r^{2}};L_{{frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{frac {1}{2}})}(gamma r^{2})}；

其中，Nnl{displaystyle N_{nl}}是歸一常數。

Rnl(r){displaystyle R_{nl}(r)}的歸一條件是

∫0∞r2|Rnl(r)|2dr=1{displaystyle int _{0}^{infty }r^{2}|R_{nl}(r)|^{2},dr=1}。

設定q=γr2{displaystyle q=gamma r^{2}}。將Rnl{displaystyle R_{nl}}與q{displaystyle q}代入積分方程式：

Nnl22γl+32∫0∞ql+12e−q[L12(n−l)(l+12)(q)]2dq=1{displaystyle {frac {N_{nl}^{2}}{2gamma ^{l+{3 over 2}}}}int _{0}^{infty }q^{l+{1 over 2}}e^{-q}left[L_{{frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{frac {1}{2}})}(q)right]^{2},dq=1}。

應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性，這方程式簡化為

Nnl22γl+32⋅Γ[12(n+l+1)+1][12(n−l)]!=1{displaystyle {frac {N_{nl}^{2}}{2gamma ^{l+{3 over 2}}}}cdot {frac {Gamma [{frac {1}{2}}(n+l+1)+1]}{[{frac {1}{2}}(n-l)]!}}=1}。

因此，歸一常數可以表達為

Nnl=2γl+32(n−l2)!Γ(n+l2+32){displaystyle N_{nl}={sqrt {frac {2,gamma ^{l+{3 over 2}},({frac {n-l}{2}})!}{Gamma ({frac {n+l}{2}}+{frac {3}{2}})}}}}。

應用伽瑪函數的數學特性，同時注意n{displaystyle n}與l{displaystyle l}的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

Γ[12+(n+l2+1)]=π(n+l+1)!!2n+l2+1=π(n+l+1)!2n+l+1[12(n+l)]!{displaystyle Gamma left[{1 over 2}+left({frac {n+l}{2}}+1right)right]={frac {{sqrt {pi }}(n+l+1)!!}{2^{{frac {n+l}{2}}+1}}}={frac {{sqrt {pi }}(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[{frac {1}{2}}(n+l)]!}}}。

在這裏用到了雙階乘 (double factorial)的定義。

所以，歸一常數等於

Nnl=[2n+l+2γl+32[12(n−l)]![12(n+l)]!π12(n+l+1)!]12{displaystyle N_{nl}=left[{frac {2^{n+l+2},gamma ^{l+{3 over 2}},[{1 over 2}(n-l)]!;[{1 over 2}(n+l)]!}{;pi ^{1 over 2}(n+l+1)!}}right]^{1 over 2}}。

類氫原子

類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：

V(r)=−14πϵ0Ze2r{displaystyle V(r)=-{frac {1}{4pi epsilon _{0}}}{frac {Ze^{2}}{r}}}；

其中，ϵ0{displaystyle epsilon _{0}}是真空電容率，Z{displaystyle Z}是原子序，e{displaystyle e}是單位電荷量，r{displaystyle r}是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式(1)，

{−ℏ22μr2ddr(r2ddr)+ℏ2l(l+1)2μr2−14πϵ0Ze2r}R(r)=ER(r){displaystyle left{-{hbar ^{2} over 2mu r^{2}}{d over dr}left(r^{2}{d over dr}right)+{hbar ^{2}l(l+1) over 2mu r^{2}}-{frac {1}{4pi epsilon _{0}}}{frac {Ze^{2}}{r}}right}R(r)=ER(r)}。

這方程式的解答是

Rnl(r)=(2Znaμ)3(n−l−1)!2n[(n+l)!]3e−Zr/naμ(2Zrnaμ)lLn−l−12l+1(2Zrnaμ){displaystyle R_{nl}(r)={sqrt {{left({frac {2Z}{na_{mu }}}right)}^{3}{frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{-Zr/{na_{mu }}}left({frac {2Zr}{na_{mu }}}right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}left({frac {2Zr}{na_{mu }}}right)}；

其中，aμ=4πε0ℏ2μe2{displaystyle a_{mu }={{4pi varepsilon _{0}hbar ^{2}} over {mu e^{2}}}}。aμ{displaystyle a_{mu }}近似於波耳半徑a0{displaystyle a_{0}}。假若，原子核的質量是無限大的，則aμ=a0{displaystyle a_{mu }=a_{0}}，並且，約化質量等於電子的質量，μ=me{displaystyle mu =m_{e}}。Ln−l−12l+1{displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}}是广义拉盖尔多项式，定義為^[1]

Lij(x)=(−1)j djdxjLi+j(x){displaystyle L_{i}^{j}(x)=(-1)^{j} {frac {d^{j}}{dx^{j}}}L_{i+j}(x)}；

其中，Li+j(x){displaystyle L_{i+j}(x)}是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

Li(x)=exi! didxi(xie−x){displaystyle L_{i}(x)={frac {e^{x}}{i!}} {frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})}。

為了滿足Rnl(r){displaystyle R_{nl}(r)}的邊界條件，n{displaystyle n}必須是正值整數，能量也離散為能級En=−(Z2μe432π2ϵ02ℏ2)1n2=−13.6Z2n2 (eV){displaystyle E_{n}=-left({frac {Z^{2}mu e^{4}}{32pi ^{2}epsilon _{0}^{2}hbar ^{2}}}right){frac {1}{n^{2}}}={frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}} (eV)}。隨著量子數的不同，函數Rnl(r){displaystyle R_{nl}(r)}與Ylm{displaystyle Y_{lm}}都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求l<n{displaystyle l<n}。

知道徑向函數Rnl(r){displaystyle R_{nl}(r)}與球諧函數Ylm{displaystyle Y_{lm}}的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：

ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ){displaystyle psi _{nlm}=R_{nl}(r),Y_{lm}(theta ,phi )}。

導引

為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 (atomic unit)

Eh=me(e24πε0ℏ)2{displaystyle E_{textrm {h}}=m_{textrm {e}}left({frac {e^{2}}{4pi varepsilon _{0}hbar }}right)^{2}}，

a0=4πε0ℏ2mee2{displaystyle a_{0}={{4pi varepsilon _{0}hbar ^{2}} over {m_{textrm {e}}e^{2}}}}。

將變數y=Zr/a0{displaystyle y=Zr/a_{0}}與W=E/(Z2Eh){displaystyle W=E/(Z^{2}E_{textrm {h}})}代入徑向薛丁格方程式(2)：

[−12d2dy2+12l(l+1)y2−1y]ul=Wul{displaystyle left[-{frac {1}{2}}{frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{frac {1}{2}}{frac {l(l+1)}{y^{2}}}-{frac {1}{y}}right]u_{l}=Wu_{l}}。(8)

這方程式有兩類解答：

1. 
   W<0{displaystyle W<0}：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的W{displaystyle W}造成了離散的能量譜。


2. 
   W≥0{displaystyle Wgeq 0}：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第(1)類解答。設定正實數α≡2−2W{displaystyle alpha equiv 2{sqrt {-2W}}}與x≡αy{displaystyle xequiv alpha y}。代入方程式(8)：

[d2dx2−l(l+1)x2+2αx−14]ul=0{displaystyle left[{frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{frac {l(l+1)}{x^{2}}}+{frac {2}{alpha x}}-{frac {1}{4}}right]u_{l}=0}。(9)

當x{displaystyle x}接近0時，方程式(9)最顯著的項目是

[d2dx2−l(l+1)x2]ul=0{displaystyle left[{frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{frac {l(l+1)}{x^{2}}}right]u_{l}=0}。

所以，ul(x){displaystyle u_{l}(x)}與xl+1{displaystyle x^{l+1}}成正比。

又當x{displaystyle x}無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是

[d2dx2−14]ul=0{displaystyle left[{frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{frac {1}{4}}right]u_{l}=0}。

因此，ul(x){displaystyle u_{l}(x)}與e−x/2{displaystyle e^{-x/2}}成正比。

為了除去ul(x){displaystyle u_{l}(x)}在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用ul(x){displaystyle u_{l}(x)}的替換方程式：

ul(x)=xl+1e−x/2fl(x){displaystyle u_{l}(x)=x^{l+1}e^{-x/2}f_{l}(x)}。

經過一番運算，得到fl(x){displaystyle f_{l}(x)}的方程式：

[xd2dx2+(2l+2−x)ddx+(ν−l−1)]fl(x)=0{displaystyle left[x{frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2l+2-x){frac {d}{dx}}+(nu -l-1)right]f_{l}(x)=0}；

其中，ν=(−2W)−12{displaystyle nu =(-2W)^{-{frac {1}{2}}}}。

假若，ν−l−1{displaystyle nu -l-1}是個非負整數k{displaystyle k} ，則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式

Lk(2l+1)(x),k=0,1,…{displaystyle L_{k}^{(2l+1)}(x),qquad k=0,1,ldots }。

採用Abramowitz and Stegun的慣例^[1]。無因次的能量是

W=−12n2{displaystyle W=-{frac {1}{2n^{2}}}}；

其中，主量子數n≡k+l+1{displaystyle nequiv k+l+1}滿足n≥l+1{displaystyle ngeq l+1}，或l≤n−1{displaystyle lleq n-1}。

由於α=2/n{displaystyle alpha =2/n}，徑向波函數是

Rnl(r)=(2Zna0)3⋅(n−l−1)!2n[(n+l)!]3e−Zrna0(2Zrna0)lLn−l−12l+1(2Zrna0){displaystyle R_{nl}(r)={sqrt {left({frac {2Z}{na_{0}}}right)^{3}cdot {frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}};e^{-{textstyle {frac {Zr}{na_{0}}}}}left({frac {2Zr}{na_{0}}}right)^{l};L_{n-l-1}^{2l+1}left({frac {2Zr}{na_{0}}}right)}。

能量是

E=−Z22n2Eh=−Z22n2me(e24πε0ℏ)2,n=1,2,…{displaystyle E=-{frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{textrm {h}}=-{frac {Z^{2}}{2n^{2}}}m_{textrm {e}}left({frac {e^{2}}{4pi varepsilon _{0}hbar }}right)^{2},qquad n=1,2,ldots }。

參閱

• 自由粒子


• 無限深方形阱


• 有限深方形阱


• 有限位勢壘


• Delta位勢阱


• Delta位勢壘


• 連心力

參考文獻

1. 
   ^ ^1.01.1 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (编), Chapter 22, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1965, ISBN 0-486-61272-4 
   

• 
  Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.