布朗运动
模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動。
此文是关于布朗运动。对于随机的过程，请参阅 维纳过程。从热力学的角度定义的话，需要参阅热力学温度以及能量均分定理。对于数学模型，请参阅随机游走。
粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。
布朗运动（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。
它是在西元1827年[1]英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是有水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10-8厘米。
目录
1 定義
2 對於布朗運動之誤解
3 愛因斯坦的理論
4 数学模型
4.1 定义
4.2 其他定义
4.3 性质
4.4 布朗运动的数学构造
4.4.1 利用Kolmogorov一致性定理
4.4.2 利用随机过程
4.4.3 利用傅立叶级数
5 参见
6 腳註
7 外部連結
定義
自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：[2]
- 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
- 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
- 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
- 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
- 粒子的運動永不停止。
對於布朗運動之誤解
值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。
一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。
花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。
在日本，以鶴田憲次『物理学叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辞典』[3]、花輪重雄『物理学読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理学原論（上）』、平凡社『理科辞典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。
直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。
愛因斯坦的理論
在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。
爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。[4][來源請求] 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。[5] 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动[來源請求]。
他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（Δ{displaystyle Delta }
- ρ(x,t)+τ∂ρ(x)∂t+⋯=ρ(x,t+τ)=∫−∞+∞ρ(x+Δ,t)⋅φ(Δ)dΔ=ρ(x,t)⋅∫−∞+∞φ(Δ)dΔ+∂ρ∂x⋅∫−∞+∞Δ⋅φ(Δ)dΔ+∂2ρ∂x2⋅∫−∞+∞Δ22⋅φ(Δ)dΔ+⋯=ρ(x,t)⋅1+0+∂2ρ∂x2⋅∫−∞+∞Δ22⋅φ(Δ)dΔ+⋯{displaystyle {begin{aligned}rho (x,t)+tau {frac {partial rho (x)}{partial t}}+cdots =rho (x,t+tau )={}&int _{-infty }^{+infty }rho (x+Delta ,t)cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta \={}&rho (x,t)cdot int _{-infty }^{+infty }varphi (Delta ),dDelta +{frac {partial rho }{partial x}}cdot int _{-infty }^{+infty }Delta cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta \&{}+{frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2}}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta +cdots \={}&rho (x,t)cdot 1+0+{frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2}}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta +cdots end{aligned}}}
第一行中的第二个等式是被 φ{displaystyle varphi }
- ∂ρ∂t=∂2ρ∂x2⋅∫−∞+∞Δ22τ⋅φ(Δ)dΔ+(更 高 阶 的 项 ){displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}={frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2,tau }}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta +{text{(更 高 阶 的 项 )}}}
拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 Δ{displaystyle Delta }
- D=∫−∞+∞Δ22τ⋅φ(Δ)dΔ{displaystyle D=int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2,tau }}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta }
那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：
- ∂ρ∂t=D⋅∂2ρ∂x2,{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}=Dcdot {frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}},}
假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解
- ρ(x,t)=ρ04πDte−x24Dt.{displaystyle rho (x,t)={frac {rho _{0}}{sqrt {4pi Dt}}}e^{-{frac {x^{2}}{4Dt}}}.}
数学模型
定义
满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动
- 这个鞅是关于时间连续的。
- 他的平方减去时间项也是一个鞅。
(Mt){displaystyle (M_{t})}
其他定义
3000步的2维布朗运动的模拟。
播放媒体1000步的3维布朗运动模拟。
一维的定义
一维布朗运动(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}
- （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量Bt−Bs{displaystyle scriptstyle B_{t}-B_{s}}
独立于时间s前的过程(Bu)0≤u≤s{displaystyle scriptstyle (B_{u})_{0leq uleq s}}
。
- （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量Bt−Bs{displaystyle scriptstyle B_{t}-B_{s}}
(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}是连续的.
- 通常假设B0=0{displaystyle scriptstyle B_{0}=0}
。这种布朗运动我们称它为标准的。
等价定义
一维布朗运动(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}
(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}},随机向量：(Bt1,Bt2,...,Btn){displaystyle scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}
服从高维高斯分布（正态分布）。
(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}- 对于所有s和t,均值E[Bt]=0{displaystyle scriptstyle mathbb {E} [B_{t}]=0}
，协方差E[BsBt]=min(s,t){displaystyle scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}
.
高维定义
(Bt)t≥0:=(Bt1,Bt2,...,Btd)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}:=left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}right)_{tgeq 0}}是d维布朗运动，只需满足B1,B2,...,Bd{displaystyle scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}
为独立的布朗运动。
换句话说，d维布朗运动 取值于Rd{displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{d}}
Wiener测度的定义
设C(R+,R){displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )}
- B:Ω⟶C(R+,R){displaystyle B:Omega longrightarrow C(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )}
- ω↦(t↦Bt(ω)){displaystyle omega mapsto left(tmapsto B_{t}(omega )right)}
.
Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为W(dω){displaystyle scriptstyle W(domega )}
换句话说， W是C(R+,R){displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )}
W(A)=P((Bt)t≥0∈A){displaystyle W(A)=mathbb {P} ((B_{t})_{tgeq 0}in A)}。
备忘
- 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。
- 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
- 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为t{displaystyle t}
的随机过程为布朗运动。
性质
- 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何ω∈Ω{displaystyle scriptstyle omega in Omega }
,轨道t↦Bt(ω){displaystyle scriptstyle tmapsto B_{t}(omega )}
- 协方差E[BsBt]=min(s,t){displaystyle scriptstyle mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}
。
- 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件[T<∞]{displaystyle scriptstyle [T<infty ]}
,过程(BtT)t≥0:=(BT+t−BT)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t}^{T})_{tgeq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{tgeq 0}}
为一个独立于(Bs)0≤s<T{displaystyle scriptstyle (B_{s})_{0leq s<T}}
的布朗运动。
- 它的Fourier变换或特征函数为E[eiuBt]=e−tu22{displaystyle scriptstyle mathbb {E} left[e^{iuB_{t}}right]=e^{-{frac {tu^{2}}{2}}}}
。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
- 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, (Bt+s−Bs)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{tgeq 0}}
是一个独立于(Bu)0≤u≤s{displaystyle scriptstyle (B_{u})_{0leq uleq s}}
- -B是一个布朗运动。
- （稳定性） 对于c > 0， (cBtc2)t≥0{displaystyle scriptstyle left(cB_{frac {t}{c^{2}}}right)_{tgeq 0}}
是布朗运动。
- （时间可逆性）(tB1t)t>0{displaystyle scriptstyle left(tB_{frac {1}{t}}right)_{t>0}}
在t=0之外是布朗运动。
- （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：
- 如果d∈{1,2}{displaystyle scriptstyle din {1,2}}
,集合{t≥0,Bt=x}{displaystyle scriptstyle {tgeq 0,B_{t}=x}}
不是有界的，对于任何x∈Rd{displaystyle scriptstyle xin mathbb {R} ^{d}}
，
- 如果d≥3,limt→∞||Bt||=+∞{displaystyle scriptstyle dgeq 3,,,,lim _{trightarrow infty }||B_{t}||=+infty }
（几乎处处）。
- （反射原理）
- P[sup0≤s≤tBs≥a]=2P[Bt≥a]=P[|Bt|≥a].{displaystyle mathbb {P} [sup _{0leq sleq t}B_{s}geq a]=2mathbb {P} [B_{t}geq a]=mathbb {P} [|B_{t}|geq a].}
![{mathbb P}[sup _{{0leq sleq t}}B_{s}geq a]=2{mathbb P}[B_{t}geq a]={mathbb P}[|B_{t}|geq a].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41019e614a289a58287d418c67e9fa6804208de)
布朗运动的数学构造
利用Kolmogorov一致性定理
设(ft)t∈R+{displaystyle (f_{t})_{tin {mathbb {R} }_{+}}}
∀(u,v)∈R+, s(u,v)=⟨fu,fv⟩L2(R+)=∫R+fu(x)fv(x)dx{displaystyle forall (u,v)in {mathbb {R} }_{+}{text{, }}s(u,v)={langle f_{u},f_{v}rangle }_{L^{2}({mathbb {R} }_{+})}=int _{mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx}
这列函数满足：
∀k∈N∗{displaystyle forall kin mathbb {N} ^{*}}
利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程{Yt}t∈R+{displaystyle {Y_{t}}_{tin mathbb {R} _{+}}}
当(ft)t∈R+=(c.11[0,t])t∈R+{displaystyle (f_{t})_{tin {mathbb {R} }_{+}}=left({sqrt {c}}.1!!1_{[0,t]}right)_{tin mathbb {R} _{+}}}![(f_{t})_{{tin {{mathbb {R}}}_{+}}}=left({sqrt {c}}.1!!1_{{[0,t]}}right)_{{tin {mathbb {R}}_{+}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dc4d4d2b7105226701d051b942c22fe8ab2e72)
![1!!1_{{[0,t]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a6fbd7e256ad5badddb733d9e5e69964152958)
![[0,t]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
s(u,v)=c∫R11[0,u](s)11[0,v](s)ds=c.min(u,v){displaystyle s(u,v)=cint limits _{mathbb {R} }1!!1_{[0,u]}(s)1!!1_{[0,v]}(s)ds={text{c.min}}(u,v)}
![s(u,v)=cint limits _{{{mathbb {R}}}}1!!1_{{[0,u]}}(s)1!!1_{{[0,v]}}(s)ds={text{c.min}}(u,v)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3733bb18c7af27a59fff85fe00649990a3be25)
在这个情况下，矩阵(s(ti,tj))1≤i,j≤k{displaystyle left(s(t_{i},t_{j})right)_{1leq i,jleq k}}
我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。c=Var(B1){displaystyle c=Var(B_{1})}
利用随机过程
Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。
- (1σn(∑k=1[nt]Uk+(nt−[nt])U[nt]+1))0≤t≤1⟹n→∞(Bt)0≤t≤1{displaystyle left({frac {1}{sigma {sqrt {n}}}}left(sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}right)right)_{0leq tleq 1}{underset {nrightarrow infty }{Longrightarrow }}(B_{t})_{0leq tleq 1}}
![left({frac {1}{sigma {sqrt {n}}}}left(sum _{{k=1}}^{{[nt]}}U_{k}+(nt-[nt])U_{{[nt]+1}}right)right)_{{0leq tleq 1}}{underset {nrightarrow infty }{Longrightarrow }}(B_{t})_{{0leq tleq 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da668dedd47db63b559871f6652a4458447db78)
其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。
利用傅立叶级数
设2列独立的正态N(0,1){displaystyle scriptstyle {mathcal {N}}(0,1)}
- Bt:=tN0+∑k=1+∞22πk(Nkcos(2πkt−1)+Nk′sin(2πkt)){displaystyle B_{t}:=tN_{0}+sum _{k=1}^{+infty }{frac {sqrt {2}}{2pi k}}left(N_{k}cos(2pi kt-1)+N_{k}'sin(2pi kt)right)}
为布朗运动。
参见
- 维纳过程
腳註
^ 部分紀錄為1828年。
^ 李育嘉. 漫談布朗運動.
^ 該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。
^ BROWNIAN MOTION. : 5.
^ Feynman, R. The Brownian Movement. The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41Template:Hyphen1.
外部連結
- 漫談布朗運動
https://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
