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部分的统计学系列
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在概率论中, 对两个随机变量X和Y，其联合分布是同时对于X和Y的概率分布.

离散随机变量的联合分布

对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为Pr(X = x & Y = y)，即

P(X=xandY=y)=P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).{displaystyle P(X=x;mathrm {and} ;Y=y);=;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).;}

因为是概率分布函数，所以必须有

∑x∑yP(X=x and Y=y)=1.{displaystyle sum _{x}sum _{y}P(X=x mathrm {and} Y=y)=1.;}

连续随机变量的联合分布

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为f_X,Y(x, y)，其中f_Y|X(y|x)和f_X|Y(x|y)分别代表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；f_X(x)和f_Y(y)分别代表X和Y的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

∫x∫yfX,Y(x,y)dydx=1.{displaystyle int _{x}int _{y}f_{X,Y}(x,y);dy;dx=1.}

独立变量的联合分布

對於兩相互獨立的事件P(X){displaystyle P(X)}及P(Y){displaystyle P(Y)}，任意x和y而言有离散随机变量 P(X=x and Y=y)=P(X=x)⋅P(Y=y){displaystyle P(X=x mathrm {and} Y=y)=P(X=x)cdot P(Y=y)}，或者有连续随机变量 pX,Y(x,y)=pX(x)⋅pY(y){displaystyle p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)cdot p_{Y}(y)}。

多元联合分布

2元联合分布可以推广到任意多元的情况X₁, ..., X_n

fX1,…,Xn(x1,…,xn)=fXn|X1,…,Xn−1(xn|x1,…,xn−1)fX1,…,Xn−1(x1,…,xn−1).{displaystyle f_{X_{1},ldots ,X_{n}}(x_{1},ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},ldots ,X_{n-1}}(x_{1},ldots ,x_{n-1}).}

相关条目

• 耦合 (概率)

外部链接

• 
  PlanetMath上Joint continuous density function的資料。