四維頻率
在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r{displaystyle mathbf {r} ,!}表示；而其大小則用 r{displaystyle r,!}
來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，xμ{displaystyle {x}^{mu },!}
或xμ{displaystyle {x}_{mu },!}
。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，(x)2{displaystyle (x)^{2},!}
表示x{displaystyle x,!}
平方；而x2{displaystyle {x}^{2},!}
是xμ{displaystyle {x}^{mu },!}
在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 fμ{displaystyle f^{mu }}
fμ =def (f,fn){displaystyle f^{mu } {stackrel {def}{=}} left(f,,fmathbf {n} right)}；
其中，f{displaystyle f}
四維頻率與自己的內積永遠等於零：
fμfμ=(f)2(1−n2)=0{displaystyle {f}^{mu }{f}_{mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}。
類似地，四維角頻率 ωμ{displaystyle omega ^{mu }}
ωμ =def (ω,ωn){displaystyle omega ^{mu } {stackrel {def}{=}} left(omega ,,omega mathbf {n} right)}；
其中，ω{displaystyle omega }
顯然地，
ωμ=2πfμ{displaystyle omega ^{mu }=2pi f^{mu }}。
四維波向量 kμ{displaystyle {k}^{mu }}
kμ=(k,k){displaystyle {k}^{mu }=left(k,,mathbf {k} right)}；
其中，k{displaystyle mathbf {k} }
在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 diag(1,−1,−1,−1){displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}
勞侖茲變換
給予兩個慣性參考系 S{displaystyle {mathcal {S}}}
Λνμ=[γ−βxγ−βyγ−βzγ−βxγ1+(γ−1)βx2β2(γ−1)βxβyβ2(γ−1)βxβzβ2−βyγ(γ−1)βyβxβ21+(γ−1)βy2β2(γ−1)βyβzβ2−βzγ(γ−1)βzβxβ2(γ−1)βzβyβ21+(γ−1)βz2β2]{displaystyle Lambda _{nu }^{mu }={begin{bmatrix}gamma &-beta _{x},gamma &-beta _{y},gamma &-beta _{z},gamma \-beta _{x},gamma &1+(gamma -1){frac {beta _{x}^{2}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{x}beta _{y}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{x}beta _{z}}{beta ^{2}}}\-beta _{y},gamma &(gamma -1){frac {beta _{y}beta _{x}}{beta ^{2}}}&1+(gamma -1){frac {beta _{y}^{2}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{y}beta _{z}}{beta ^{2}}}\-beta _{z},gamma &(gamma -1){frac {beta _{z}beta _{x}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{z}beta _{y}}{beta ^{2}}}&1+(gamma -1){frac {beta _{z}^{2}}{beta ^{2}}}\end{bmatrix}}}；
其中，γ=11−(vc)2{displaystyle gamma ={cfrac {1}{sqrt {1-left({frac {v}{c}}right)^{2}}}}}
設定一個朝著 k^{displaystyle {hat {mathbf {k} }}}
E=E0e−i(kμxμ)η^1{displaystyle mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{mu }x_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{1}}、
B=B0e−i(kμxμ)η^2{displaystyle mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{mu }x_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{2}}；
其中，E{displaystyle mathbf {E} }
那麼，對於參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}}
E¯=E¯0e−i(k¯μx¯μ)η^1{displaystyle {overline {mathbf {E} }}={overline {E}}_{0}e^{-i({overline {k}}^{mu }{overline {x}}_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{1}}、
B¯=B¯0e−i(k¯μx¯μ)η^2{displaystyle {overline {mathbf {B} }}={overline {B}}_{0}e^{-i({overline {k}}^{mu }{overline {x}}_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{2}}。
四維波向量 k¯μ{displaystyle {overline {k}}^{mu }}
k¯μ=Λνμkν{displaystyle {overline {k}}^{mu }=Lambda _{nu }^{mu }{k}^{nu }}。
經過一番運算，可以求得
k¯=k¯0=γ(k−βxkx−βyky−βzkz)=kμvμ/c{displaystyle {overline {k}}={overline {k}}^{0}=gamma (k-beta _{x}k_{x}-beta _{y}k_{y}-beta _{z}k_{z})=k^{mu }v_{mu }/c}；
其中，vμ=(γc,−γv){displaystyle v_{mu }=(gamma c,,-gamma mathbf {v} )}
在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為
fμ=ckμ/2π{displaystyle f^{mu }=ck^{mu }/2pi }。
所以，
f¯=f¯0=fμvμ/c{displaystyle {overline {f}}={overline {f}}^{0}=f^{mu }v_{mu }/c}。
這也是參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}}
參閱
- 四維向量
- 電磁張量
參考文獻
^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 引文格式1维护：冗余文本 (link)
Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84–90. ISBN 1852334266.
Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
