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列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol），特別在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中很常見到，用以表示數字的集合；是對於1,2,⋯,n{displaystyle 1,2,cdots ,n}中某個正整數n{displaystyle n}所形成排列的正負符號來定義。它以義大利數學家和物理學家Tullio Levi-Civita命名。其它名稱包括置換符號，反對稱符號或交替符號，是有關於反對稱的屬性與排列的定義。

希臘小寫字母ε{displaystyle varepsilon }或ϵ{displaystyle epsilon }是表示列維-奇維塔符號的標準記號，較不常見的也有以拉丁文小寫e{displaystyle e}記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：

εi1i2⋯in{displaystyle varepsilon _{i_{1}i_{2}cdots i_{n}}}

其中每個下標i1,i2,⋯,in{displaystyle i_{1},i_{2},cdots ,i_{n}}取值為1,2,⋯,n{displaystyle 1,2,cdots ,n}。有nn{displaystyle n^{n}}個索引值為εi1i2⋯in{displaystyle varepsilon _{i_{1}i_{2}cdots i_{n}}}，可以排成為n{displaystyle n}-維陣列。

這個符號的關鍵定義是全部索引中的完全反對稱性。當任何兩個索引互換、相等或否定時，則符號的正負即有變化：

ε…ip…iq…=−ε…iq…ip….{displaystyle varepsilon _{dots i_{p}dots i_{q}dots }=-varepsilon _{dots i_{q}dots i_{p}dots }.}

如果兩個索引相等，則此符號變為0。當全部索引都不相等時，我們有：

εi1i2…in=(−1)pε12…n,{displaystyle varepsilon _{i_{1}i_{2}dots i_{n}}=(-1)^{p}varepsilon _{12dots n},}

其中p{displaystyle p}（稱為排列的奇偶性質）是要將i1,i2,⋯,in{displaystyle i_{1},i_{2},cdots ,i_{n}}
回復1,2,⋯,n{displaystyle 1,2,cdots ,n}的自然次序時，而索引所需的對換次數，而因子(−1)p{displaystyle (-1)^{p}}被稱為排列的符號。ε12…n{displaystyle varepsilon _{12ldots n}}的值必須有定義，否則所有排列的特定符號值是無法確定的。大多數作者選擇ε12…n=+1{displaystyle varepsilon _{12ldots n}=+1}，表示列維-奇維塔符號等於各別索引不相等時的置換符號，在本文中使用這個定義。

“n{displaystyle n}-維列維-奇維塔符號”一詞是指符號n{displaystyle n}上的索引數，和所討論的向量空間維度相符，可以是歐幾里得或非歐幾里得空間，例如，R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}或閔可夫斯基空間。列維-奇維塔符號的值與任何張量和參考座標系無關。此外，特別固定的“符號”強調，它並不因為在座標系之間如何變換而就是某一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號讓我們可使用索引符號來表示方陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。

定義

列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前給出這些符號。

二維

在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：

εij={+1if (i,j)=(1,2)−1if (i,j)=(2,1)0if i=j{displaystyle varepsilon _{ij}={begin{cases}+1&{text{if }}(i,j)=(1,2)\-1&{text{if }}(i,j)=(2,1)\;;,0&{text{if }}i=jend{cases}}}

這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣：

(ε11ε12ε21ε22)=(01−10){displaystyle {begin{pmatrix}varepsilon _{11}&varepsilon _{12}\varepsilon _{21}&varepsilon _{22}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0&1\-1&0end{pmatrix}}}

二維的列維-奇維塔符號的使用，相對於其它維度並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和二極管理論，它出現在2-旋量的上下文中。三維以上的列維-奇維塔符號更常用。

三維

For the indices (i, j, k) in ε_ijk, the values 1, 2, 3 occurring in the      cyclic order (1, 2, 3) correspond to ε = +1, while occurring in the      reverse cyclic order correspond to ε = −1, otherwise ε = 0.

在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：

εijk={+1−10{displaystyle varepsilon _{ijk}={begin{cases}+1\-1\0end{cases}}}	若(i,j,k)={1,2,3},{2,3,1}{displaystyle left(i,j,kright)=left{1,2,3right},left{2,3,1right}}或{3,1,2}{displaystyle left{3,1,2right}}（偶置換）
	若(i,j,k)={3,2,1},{2,1,3}{displaystyle left(i,j,kright)=left{3,2,1right},left{2,1,3right}}或{1,3,2}{displaystyle left{1,3,2right}}（奇置換）
	若i=j,j=k{displaystyle i=j,j=k}或i=k{displaystyle i=k}

也就是說，如果(i,j,k){displaystyle left(i,j,kright)}是(1,2,3){displaystyle left(1,2,3right)}的偶置換，εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}為+1{displaystyle +1}。

如果是奇置換，則εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}為−1{displaystyle -1}，如果任何索引有相同重複，則為 0。
僅在三維中，(1,2,3){displaystyle left(1,2,3right)}的循環排列都是均勻排列，類似地，反向排列都是奇置換。
這意味著在三維中，(1,2,3){displaystyle left(1,2,3right)}的循環或反向排列就足夠容易地獲得所有的偶數或奇置換。

類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排列成3 × 3 × 3陣列：

立體化表示

其中i{displaystyle i}是深度（藍色：i=1{displaystyle i=1}; 紅色：i=2{displaystyle i=2}; 綠色：i=3{displaystyle i=3}），j{displaystyle j}是行，k{displaystyle k}是列。

一些例子：

ε132=−ε123=−1ε312=−ε213=−(−ε123)=1ε231=−ε132=−(−ε123)=1ε232=−ε232=0{displaystyle {begin{aligned}varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Violet}{3}color {Orange}{2}}=-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Orange}{2}color {Violet}{3}}&=-1\varepsilon _{color {Violet}{3}color {BrickRed}{1}color {Orange}{2}}=-varepsilon _{color {Orange}{2}color {BrickRed}{1}color {Violet}{3}}&=-(-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Orange}{2}color {Violet}{3}})=1\varepsilon _{color {Orange}{2}color {Violet}{3}color {BrickRed}{1}}=-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Violet}{3}color {Orange}{2}}&=-(-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Orange}{2}color {Violet}{3}})=1\varepsilon _{color {Orange}{2}color {Violet}{3}color {Orange}{2}}=-varepsilon _{color {Orange}{2}color {Violet}{3}color {Orange}{2}}&=0end{aligned}}}

四維

在四維中，列維 - 奇維塔符號定義如下：

εijkl={+1if (i,j,k,l) is an even permutation of (1,2,3,4)−1if (i,j,k,l) is an odd permutation of (1,2,3,4)0otherwise{displaystyle varepsilon _{ijkl}={begin{cases}+1&{text{if }}(i,j,k,l){text{ is an even permutation of }}(1,2,3,4)\-1&{text{if }}(i,j,k,l){text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4)\;;,0&{text{otherwise}}end{cases}}}

這些值可以排列成4 × 4 × 4 × 4陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。
一些範例如下：

ε1432=−ε1234=−1ε2134=−ε1234=−1ε4321=−ε1324=−(−ε1234)=1ε3243=−ε3243=0{displaystyle {begin{aligned}varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {RedViolet}{4}color {Violet}{3}color {Orange}{color {Orange}{2}}}=-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Orange}{color {Orange}{2}}color {Violet}{3}color {RedViolet}{4}}&=-1\varepsilon _{color {Orange}{color {Orange}{2}}color {BrickRed}{1}color {Violet}{3}color {RedViolet}{4}}=-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Orange}{color {Orange}{2}}color {Violet}{3}color {RedViolet}{4}}&=-1\varepsilon _{color {RedViolet}{4}color {Violet}{3}color {Orange}{color {Orange}{2}}color {BrickRed}{1}}=-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Violet}{3}color {Orange}{color {Orange}{2}}color {RedViolet}{4}}&=-(-varepsilon _{color {BrickRed}{1}color {Orange}{color {Orange}{2}}color {Violet}{3}color {RedViolet}{4}})=1\varepsilon _{color {Violet}{3}color {Orange}{color {Orange}{2}}color {RedViolet}{4}color {Violet}{3}}=-varepsilon _{color {Violet}{3}color {Orange}{color {Orange}{2}}color {RedViolet}{4}color {Violet}{3}}&=0end{aligned}}}

推廣到n維

更一般地推廣到n{displaystyle n}維中，則列維-奇維塔符號的定義為：

εa1a2a3…an={+1−10{displaystyle varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}ldots a_{n}}={begin{cases}+1\-1\0end{cases}}}	若(a1,a2,a3,…,an){displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},ldots ,a_{n})}是(1,2,3,…,n){displaystyle (1,2,3,dots ,n)}的偶置換
	若(a1,a2,a3,…,an){displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},ldots ,a_{n})}是(1,2,3,…,n){displaystyle (1,2,3,dots ,n)}的奇置換
	其它，即若任意兩個指標相等

因此n{displaystyle n}維的情況就變成偶排列或奇排列的正負號，否則為零。使用記號∏表達一般乘法的式子為：

εa1a2a3…an=∏1≤i<j≤nsgn⁡(aj−ai)=sgn⁡(a2−a1)sgn⁡(a3−a1)…sgn⁡(an−a1)sgn⁡(a3−a2)sgn⁡(a4−a2)…sgn⁡(an−a2)…sgn⁡(an−an−1){displaystyle {begin{aligned}varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}ldots a_{n}}&=prod _{1leq i<jleq n}operatorname {sgn} (a_{j}-a_{i})\&=operatorname {sgn} (a_{2}-a_{1})operatorname {sgn} (a_{3}-a_{1})dots operatorname {sgn} (a_{n}-a_{1})operatorname {sgn} (a_{3}-a_{2})operatorname {sgn} (a_{4}-a_{2})dots operatorname {sgn} (a_{n}-a_{2})dots operatorname {sgn} (a_{n}-a_{n-1})end{aligned}}}

其中的sgn{displaystyle operatorname {sgn} }函數（signum函數）返回其參數的正負號，同時如果非零則丟棄絕對值。該公式對所有指標有效，對於任何n{displaystyle n}（當n=0{displaystyle n=0}或n=1{displaystyle n=1}時是空乘積，例如乘以一）。以上計算需要O(n2){displaystyle O(n^{2})}的時間複雜度，而可從其不相交循環排列的奇偶性質中，花費O(nlog⁡(n)){displaystyle Oleft(nlog(n)right)}的代價來計算。

兩個列維-奇維塔符號的積可以用一個以廣義克羅內克函數表示的矩陣的行列式求得：

εijk…εmnl…=det|δimδinδil…δjmδjnδjl…δkmδknδkl…⋮⋮⋮|{displaystyle varepsilon _{ijkdots }varepsilon _{mnldots }=det {begin{vmatrix}delta _{im}&delta _{in}&delta _{il}&dots \delta _{jm}&delta _{jn}&delta _{jl}&dots \delta _{km}&delta _{kn}&delta _{kl}&dots \vdots &vdots &vdots \end{vmatrix}}}

應用和範例

行列式

在线性代数中，3 × 3的方陣A=[aij]{displaystyle A=left[a_{ij}right]}：

A=(A11A12A13A21A22A23A31A32A33){displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{32}&A_{33}end{pmatrix}}}，

其行列式可以寫為：

det(A)=∑i=13∑j=13∑k=13εijka1ia2ja3k{displaystyle det(mathbf {A} )=sum _{i=1}^{3}sum _{j=1}^{3}sum _{k=1}^{3}varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}，

類似地，n×n{displaystyle ntimes n}矩陣A=[aij]{displaystyle A=left[a_{ij}right]}的行列式可以寫為：

det(A)=εi1…ina1i1…anin,{displaystyle det(mathbf {A} )=varepsilon _{i_{1}dots i_{n}}a_{1i_{1}}dots a_{ni_{n}},}

其中每個ir{displaystyle i_{r}}應該總計超過1,…,n{displaystyle 1,ldots ,n}，或相等地：

det(A)=1n!εi1…inεj1…jnai1j1…ainjn,{displaystyle det(mathbf {A} )={frac {1}{n!}}varepsilon _{i_{1}dots i_{n}}varepsilon _{j_{1}dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}dots a_{i_{n}j_{n}},}

現在每個ir{displaystyle i_{r}}和每個jr{displaystyle j_{r}}應該被加在1,…,n{displaystyle 1,ldots ,n}上。 更一般地說我們有，

∑i1,i2,…εi1…inai1j1…ainjn=det(A)εj1…jn{displaystyle sum _{i_{1},i_{2},dots }varepsilon _{i_{1}dots i_{n}}a_{i_{1},j_{1}}dots a_{i_{n},j_{n}}=det(mathbf {A} )varepsilon _{j_{1}dots j_{n}}}

向量的叉積

• 兩向量a{displaystyle a}與b{displaystyle b}的叉積c{displaystyle c}：

c=a×b{displaystyle mathbf {c} =mathbf {atimes b} }，各分量ci=∑j,k=13εijkajbk{displaystyle c_{i}=sum _{j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}。

性質

由列維-奇維塔符號給出（共變等級為n）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為“置換張量”。

根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。

在一般座標變換下，置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。

在無索引的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。

在使用張量的索引符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其索引寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：

εij…k=εij…k.{displaystyle varepsilon ^{ijdots k}=varepsilon _{ijdots k}.}

在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的索引表示該索引的求和。例如，

εijkεimn≡∑i=1,2,3εijkεimn{displaystyle varepsilon _{ijk}varepsilon ^{imn}equiv sum _{i=1,2,3}varepsilon _{ijk}varepsilon ^{imn}}.

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

二維

在二維上，當所有i{displaystyle i}，j{displaystyle j}，m{displaystyle m}，n{displaystyle n}各取值1和2時，

εijεmn=δimδjn−δinδjm{displaystyle varepsilon _{ij}varepsilon ^{mn}={delta _{i}}^{m}{delta _{j}}^{n}-{delta _{i}}^{n}{delta _{j}}^{m}}

(1)

εijεin=δjn{displaystyle varepsilon _{ij}varepsilon ^{in}={delta _{j}}^{n}}

(2)

εijεij=2.{displaystyle varepsilon _{ij}varepsilon ^{ij}=2.}

(3)

三維

索引和符號值

在三維中，當所有i{displaystyle i}，j{displaystyle j}，k{displaystyle k}，m{displaystyle m}，n{displaystyle n}各取值1,2和3時：

εijkεimn=δjmδkn−δjnδkm{displaystyle varepsilon _{ijk}varepsilon ^{imn}=delta _{j}{}^{m}delta _{k}{}^{n}-delta _{j}{}^{n}delta _{k}{}^{m}}

(4)

εjmnεimn=2δji{displaystyle varepsilon _{jmn}varepsilon ^{imn}=2{delta _{j}}^{i}}

(5)

εijkεijk=6.{displaystyle varepsilon _{ijk}varepsilon ^{ijk}=6.}

(6)

乘積

列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：

εijkεlmn=|δilδimδinδjlδjmδjnδklδkmδkn|=δil(δjmδkn−δjnδkm)−δim(δjlδkn−δjnδkl)+δin(δjlδkm−δjmδkl).{displaystyle {begin{aligned}varepsilon _{ijk}varepsilon _{lmn}&={begin{vmatrix}delta _{il}&delta _{im}&delta _{in}\delta _{jl}&delta _{jm}&delta _{jn}\delta _{kl}&delta _{km}&delta _{kn}\end{vmatrix}}\[6pt]&=delta _{il}left(delta _{jm}delta _{kn}-delta _{jn}delta _{km}right)-delta _{im}left(delta _{jl}delta _{kn}-delta _{jn}delta _{kl}right)+delta _{in}left(delta _{jl}delta _{km}-delta _{jm}delta _{kl}right).end{aligned}}}

這個結果的一個特例是(4):

∑i=13εijkεimn=δjmδkn−δjnδkm{displaystyle sum _{i=1}^{3}varepsilon _{ijk}varepsilon _{imn}=delta _{jm}delta _{kn}-delta _{jn}delta _{km}}

有時候稱為“contracted epsilon identity”。

在愛因斯坦標記法中，i{displaystyle i}索引的重複表示i{displaystyle i}的總和。然後前一個被表示為εijkεimn=δjmδknδjnδkm{displaystyle varepsilon _{ijk}varepsilon _{imn}=delta _{jm}delta _{kn}delta _{jn}delta _{km}}

∑i=13∑j=13εijkεijn=2δkn{displaystyle sum _{i=1}^{3}sum _{j=1}^{3}varepsilon _{ijk}varepsilon _{ijn}=2delta _{kn}}

n維

索引和符號值

在n維中，當所有i1,…,in,j1,…,jn{displaystyle i_{1},ldots ,i_{n},j_{1},ldots ,j_{n}}take values1,2,…,n{displaystyle 1,2,ldots ,n}：

εi1…inεj1…jn=n!δ[i1j1…δin]jn=δi1…inj1…jn{displaystyle varepsilon _{i_{1}dots i_{n}}varepsilon ^{j_{1}dots j_{n}}=n!delta _{[i_{1}}^{j_{1}}dots delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=delta _{i_{1}dots i_{n}}^{j_{1}dots j_{n}}}

(7)

εi1…ik ik+1…inεi1…ik jk+1…jn=k!(n−k)! δ[ik+1jk+1…δin]jn=k! δik+1…injk+1…jn{displaystyle varepsilon _{i_{1}dots i_{k}~i_{k+1}dots i_{n}}varepsilon ^{i_{1}dots i_{k}~j_{k+1}dots j_{n}}=k!(n-k)!~delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}dots delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=k!~delta _{i_{k+1}dots i_{n}}^{j_{k+1}dots j_{n}}}

(8)

εi1…inεi1…in=n!{displaystyle varepsilon _{i_{1}dots i_{n}}varepsilon ^{i_{1}dots i_{n}}=n!}

(9)

驚嘆號(!{displaystyle !})代表階乘，而δβ…α…{displaystyle delta _{beta ldots }^{alpha ldots }}是廣義克罗内克函数，對於任意n有屬性：

∑i,j,k,⋯=1nεijk…εijk…=n!{displaystyle sum _{i,j,k,dots =1}^{n}varepsilon _{ijkdots }varepsilon _{ijkdots }=n!}

從以下事實可得出：

• 每個排列是偶排列或奇排列，


• 
  (+1)2=(−1)2=1{displaystyle (+1)^{2}=(-1)^{2}=1}，與


• 任何n-元素集合的排列數正好是n!{displaystyle n!}。

乘積

一般來說，對於n維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：

εi1i2…inεj1j2…jn=|δi1j1δi1j2…δi1jnδi2j1δi2j2…δi2jn⋮⋮⋱⋮δinj1δinj2…δinjn|{displaystyle varepsilon _{i_{1}i_{2}dots i_{n}}varepsilon _{j_{1}j_{2}dots j_{n}}={begin{vmatrix}delta _{i_{1}j_{1}}&delta _{i_{1}j_{2}}&dots &delta _{i_{1}j_{n}}\delta _{i_{2}j_{1}}&delta _{i_{2}j_{2}}&dots &delta _{i_{2}j_{n}}\vdots &vdots &ddots &vdots \delta _{i_{n}j_{1}}&delta _{i_{n}j_{2}}&dots &delta _{i_{n}j_{n}}\end{vmatrix}}}

證明