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建議将圆系方程併入本條目或章節。（討論）

圆 （英语：Circle），根據歐幾里得的《几何原本》定義，是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合^[1]。此外，圆的第二定义是：「平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个常数，则此动点的轨迹是圆。」^[2]

历史

古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。^[3]到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。^[4]当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。^[5]

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。^[4]大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
古代埃及人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等。^[4]这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。

性质

解析几何

• 
  直角坐标系中的定义：(x−xm)2+(y−ym)2=a2{displaystyle (x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=a^{2}}，其中a是半径，(xm,ym){displaystyle (x_{m},y_{m})}是圆心坐标。


• 
  参数方程的定义：x=xm+acos⁡θ{displaystyle x=x_{m}+acos theta }，y=ym+asin⁡θ{displaystyle y=y_{m}+asin theta }
  


• 
  极坐标方程的定义（圆心在原点）：r=a{displaystyle r=a}
  

圆心

圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆的圆心（通常用O{displaystyle O}表示）。^[6]

弦

圆周上任何两点相连的线段称为圆的弦（英语：chord）。如图2，A{displaystyle A}、B{displaystyle B}分别为圆上任意两点，那么AB¯{displaystyle {overline {AB}}}就是圆的弦

弧

圆上任意两点间的部分叫做弧（英语：arc），通常用符号⌢{displaystyle frown }表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。^[6]

直径、半径

• 直径：经过圆心的弦叫做直径（用d{displaystyle d}表示）。^[2]
  


• 半径（英语：radius）：在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，半径用字母r{displaystyle r}表示。

k={X∈E∣MX¯<=r}{displaystyle k={Xin Emid {}{overline {MX}}<=r}}

切线

假如一条直线与圆相交僅有一个交点，那么称这条直线是这个圆的切线，与圆相交的点叫做切点。如^[2]如下图，直线QP¯{displaystyle {overline {QP}}}与圆只有一个交点P{displaystyle P}，那么QP¯{displaystyle {overline {QP}}}就是圆的切线。
过圆上一点的切线：设该点为P(xo,yo){displaystyle P(x_{o},y_{o})}，圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2{displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}，则该点和圆的切线方程为：(xo−a)(x−a)+(yo−b)(y−b)=r2{displaystyle (x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}}

• 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。


• 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。


• 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

割线

一条直线与一条弧线有两个公共点，这条直线是这条曲线的割线（英语：Secant Theorem）。^[2]如图，直线QO¯{displaystyle {overline {QO}}}与圆有两个公共点，那么直线QO¯{displaystyle {overline {QO}}}就是圆的割线。

θ 的正割是从 0 到 Q的距离.

周长

圆的一周的长度称为圆的周长（记作C{displaystyle C}）。圆的周长与半径的关系是：

C=πd{displaystyle C=pi d} 或 C=2πr{displaystyle C=2pi r}

其中π{displaystyle pi }是圆周率。

面积

圆的面积与半径的关系是：A=πr2{displaystyle A=pi r^{2}}。

对称性

圆既是轴对称图形又是中心对称图形，圆的对称轴为经过圆心O{displaystyle O}的任意直线，圆的对称中心为圆心O{displaystyle O}^[6]

圓心角、圆周角

图2：弦、圆周角、圆心角

• 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为θ=L2πr⋅2π=Lr{displaystyle theta ={frac {L}{2pi r}}cdot 2pi ={frac {L}{r}}}。^[a][2]如右图，M{displaystyle M}为圆的圆心，那么∠AMB{displaystyle angle AMB}为圆心角。


• 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。如右图，∠ACB{displaystyle angle ACB}的顶点C{displaystyle C}在圆周上，∠ACB{displaystyle angle ACB}的两边AC¯{displaystyle {overline {AC}}}、BC¯{displaystyle {overline {BC}}}分别交在圆周上，那么∠ACB{displaystyle angle ACB}就是圆周角。

圆心角定理

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距^[b]相等，此定理也称“一推三定理”。^[6]

圆周角定理

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。^[6]
如上图，M{displaystyle M}为圆心，A,B,C{displaystyle A,B,C}分别为圆周上的点，那麼：∠AMB=2∠ACB{displaystyle angle AMB=2;angle ACB}

证明：∵BM=CM,AM=CM{displaystyle because BM=CM,AM=CM}

∵∠BCM=∠CBM,∠ACM=∠CAM{displaystyle because angle BCM=angle CBM,angle ACM=angle CAM}

∴∠BMS=∠BCM+∠CBM{displaystyle therefore angle BMS=angle BCM+angle CBM}

∵∠AMS=∠ACM+∠CAM{displaystyle because angle AMS=angle ACM+angle CAM}

∴∠BMS+∠AMS=2(∠BCM+∠ACM){displaystyle therefore angle BMS+angle AMS=2(angle BCM+angle ACM)}

即：∠AMB=2∠ACB{displaystyle angle AMB=2;angle ACB}

圆周角定理的推论：

1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。


2. 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆，所对的弦是直径。


3. 若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

垂径定理

垂径定理示意图

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。^[1]如图，直径BE¯⊥{displaystyle {overline {BE}}perp }弦AC¯{displaystyle {overline {AC}}}，那么BE¯{displaystyle {overline {BE}}}平分AC¯{displaystyle {overline {AC}}}且平分AC⌢{displaystyle {overset {frown }{AC}}}

• 推论1：（1）平分弦^[c]的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

• 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

兩圓位置關係

兩個不同大小的圓（半徑分別為r{displaystyle r}及R{displaystyle R}，圓心距為d{displaystyle d}，其中r<R{displaystyle r<R}）之間的關係如下：^[2]

1. 
   d=0{displaystyle d=0}：兩圓不相交（內含），互為同心圓。


2. 
   0<d<R−r{displaystyle 0<d<R-r}：兩圓不相交（內含，亦稱「內離」）。


3. 
   d=R−r{displaystyle d=R-r}：兩圓相交於一點（內切），有1條共同切線。


4. 
   d=R+r{displaystyle d=R+r}：兩圓相交於一點（外切），有3條共同切線。


5. 
   R−r<d<R+r{displaystyle R-r<d<R+r}：兩圓相交於兩點，有2條共同切線。


6. 
   d>R+r{displaystyle d>R+r}：兩圓不相交（外離），有4條共同切線。

圆系方程

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。 ^[2]
在方程(x−a)2+(y−b)2=r2{displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}中，若圆心(a,b){displaystyle (a,b)}为定点，r{displaystyle r}为参变数，则它表示同心圆的圆系方程．若r{displaystyle r}是常量，a{displaystyle a}（或b{displaystyle b}）为参变数，则它表示半径相同，圆心在同一直线上（平行于x{displaystyle x}轴或y{displaystyle y}轴）的圆系方程．

• 过两圆x12+y12+D1x+E1y+F1{displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}}与x22+y22+D2x+E2y+F2{displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}}交点的圆系方程为：

x12+y12+D1x+E1y+F1+⋏(x22+y22+D2x+E2y+F2)=0(⋏≠−1){displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+curlywedge (x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0(curlywedge neq -1)}

• 过直线Ax+By+C=0{displaystyle Ax+By+C=0}与圆x12+y12+D1x+E1y+F1{displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}}交点的圆系方程为:

x12+y12+D1x+E1y+F1+⋏(Ax+By+C)=0{displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+curlywedge (Ax+By+C)=0}

• 过两圆x12+y12+D1x+E1y+F1{displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}}与x22+y22+D2x+E2y+F2{displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}}交点的直线方程为：

x12+y12+D1x+E1y+F1−(x22+y22+D2x+E2y+F2)=0{displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0}

其他定义

• 
  椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹，椭圆的形状可以用离心率来表示；圆可以看作是一种特殊的椭圆，即当椭圆的两个焦点重合，离心率ε=0{displaystyle varepsilon =0}的情况。

• 在三維空間，球面被設定為是在R3{displaystyle R^{3}}空間中與一個定點距離為r{displaystyle r}的所有點的集合，此處r是一個正的實數，稱為半徑，固定的點稱為球心或中心，並且不屬於球面的範圍。r=1{displaystyle r=1}是球的特例，稱為單位球。

• 在測度空間中，圓的定義仍舊指距離一定點等距（在該測度下）的點的集合。

其它

相關的立体图形

截面為圓的三維形狀有：

• 球體


• 扁球體


• 圓錐體


• 圓柱體


• 圆台

圓和其他平面形狀

• 外接圓


• 內切圓


• 旁切圓

• 當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形面积最大。^[7]
  

圓的問題

• 
  化圓為方是指用尺規作圖的方法將畫出和一個已知圓面積相同的正方形。已经证明这是不可能的。^[8]
  


• 
  塔斯基分割圓問題要求用分割的方法來使已知圓變成正方形。

参考资料

注释

资料

参见

• 圆锥曲线


• 球 (数学)

扩展阅读

• 
  Pedoe, Dan. Geometry: a comprehensive course. Dover. 1988. 
  


• "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive

外部链接

维基共享资源中相關的多媒體資源：Circles（分類）

维基语录上的相关摘錄： Circles

維基文庫有《大英百科第11版》的條目「Circle」。

• 
  Hazewinkel, Michiel (编), Circle, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• Circle (PlanetMath.org website)


• 埃里克·韦斯坦因. Circle. MathWorld. 


• 
  Interactive Java applets for the properties of and elementary constructions involving circles.


• 
  Interactive Standard Form Equation of Circle Click and drag points to see standard form equation in action


• 
  Munching on Circles at cut-the-knot