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皮亚诺公理（英语：Peano axioms；意大利語：Assiomi di Peano），也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

内容

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1. 
   1是自然数；


2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；


3. 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；


4. 1不是任何自然数的后继数；


5. 任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理假设了数学归纳法的正确性）

若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。

更正式的定义如下：

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X, x, f）：

• 
  X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。


• 
  x不在f的值域内。（對應上面的公理4）


• 
  f为一单射。（對應上面的公理3）


• 若A为X的子集并满足：
  
  
  
  • 
    x属于A,且
  
  
  • 若a属于A,则f（a） 亦属于A
    
  
  
  
  

则A = X。

正式定义可以用谓词逻辑表示如下:

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)

• (e ∈ S)


• (∀ a ∈ S)( f(a) ∈ S )


• (∀ b ∈ S)(∀ c ∈ S)(f(b) ＝ f(c) → b ＝ c)


• (∀ a ∈ S)( f(a) ≠ e )


• (∀ A ⊆ S)( ((e ∈ A) ∧ (∀ a ∈ A)(f(a) ∈ A)) → (A ＝ S) )

分歧

关于皮亚诺公理的内容有不同版本。其中若將零視為自然數，第一个公理分别被阐述为：

• 
  1是一个自然数。^[1]
  


• 
  0是一个数字。^[2]
  


• 
  0是一个自然数。^[3]
  


• 
  存在一个自然数0。和“0是一个自然数”等价。

皮亚诺算术

皮亚诺算术(PA)的公理:

• 
  ∀x(Sx≠0){displaystyle forall x(Sxneq 0)}。


• 
  ∀x,y((Sx=Sy)⇒x=y){displaystyle forall x,y((Sx=Sy)Rightarrow x=y)}。


• 
  (φ[0]∧∀x(φ[x]⇒φ[Sx]))⇒∀x(φ[x]){displaystyle (varphi [0]wedge forall x(varphi [x]Rightarrow varphi [Sx]))Rightarrow forall x(varphi [x])}，对于在 PA 的语言中的任何公式 φ{displaystyle varphi }。


• 
  ∀x(x+0=x){displaystyle forall x(x+0=x)}。


• 
  ∀x,y(x+Sy=S(x+y)){displaystyle forall x,y(x+Sy=S(x+y))}。


• 
  ∀x(x⋅0=0){displaystyle forall x(xcdot 0=0)}。


• 
  ∀x,y(x⋅Sy=(x⋅y)+x){displaystyle forall x,y(xcdot Sy=(xcdot y)+x)}。

参考文献

参见

• 自然数