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  本文介紹的是數學名詞。關於同名節目名稱，請見「黃金比例 (遊戲節目)」。

无理数 √2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π
二進制	1.1001111000110111011...
十進制	1.6180339887498948482...
十六進制	1.9E3779B97F4A7C15F39...
连续分数	1+11+11+11+11+⋱{displaystyle 1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}}}}
代數形式	1+52{displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}
無限級數	138+∑n=0∞(−1)(n+1)(2n+1)!(n+2)!n!4(2n+3){displaystyle {frac {13}{8}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}}

黃金比例的線段

黃金比例，又稱黄金分割^[1]，是一個數學常數，一般以希腊字母ϕ{displaystyle phi }表示^[2][3][4]。可以透過以下代數式定義：

a+ba=ab=defϕ(a>b>0){displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}},{stackrel {text{def}}{=}},phi quad (a>b>0)}

這也是黃金比例一名的由來。

黄金比例的準確值為1+52{displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}，所以是无理数，而大約值則為（小數點後20位， A001622）：

ϕ=1.61803398874989484820…{displaystyle phi =1.61803398874989484820ldots }

应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.14一样。

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，而且呈現於不少動物和植物的外觀。現今很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均普遍應用黄金分割，展現其功能性與美觀性。

歷史

黃金比例是屬於數學領域的一個專有名詞，但是它最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究，以目前的文獻探討我們可以說黃金比例的發現和如何演進至今仍然是一個謎。但有研究指出公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正5邊形和正10邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割的一些規則，也發現無理數。他側重於從數學關係去探討美的規律，並認為美就是和諧與比例，按照這種比例關係就可以組成美的圖案，這其實是一個數字的比例關係，即將一條線分成兩部分，較長的一段與較短的一段之比等於全長與較長的一段之比，它們的比例大約是1.618:1，知名的費氏數列也體現了這個數學原則，按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著（即中末比）^[5]。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數學家卢卡·帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家约翰内斯·开普勒稱神聖比例為黃金分割。到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行，而證據在於德國數學家马丁·欧姆（英语：Martin Ohm）所寫的《基本純數學》第2版注釋中寫到有關黃金比例的解釋：「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部分的方法，稱為黃金分割」。而在1875年出版的《大英百科全書》的第9版中，蘇利有提到：「由費區那……提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱，『黃金分割』在視覺比例上具有所謂的優越性。」可見黃金分割在當時已經流行了。20世紀時美國數學家马克·巴尔（英语：Mark Barr）給它個名字叫phi。黃金分割有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛，造就了它今天的名氣。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家杰克·基弗（英语：Jack Kiefer (statistician)）於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

基本計算

黃金分割是根據黃金比例，將一條線分割成兩段。總長度a+b与長度較長的a之比等于a与長度較短的b之比。

兩個數值a{displaystyle a}和b{displaystyle b}構成黃金比例ϕ{displaystyle phi }，如果：a+ba=ab=ϕ{displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}=phi }

一個得出ϕ{displaystyle phi }數值的方法是從左邊的分數式入手。經過簡化和代入，

a+ba=1+ba=1+1ϕ{displaystyle {frac {a+b}{a}}=1+{frac {b}{a}}=1+{frac {1}{phi }}}

於是：

1+1ϕ=ϕ{displaystyle 1+{frac {1}{phi }}=phi }

兩邊乘以ϕ{displaystyle phi }就得到：

ϕ+1=ϕ2{displaystyle phi +1=phi ^{2}}

即是ϕ2−ϕ−1=0{displaystyle {phi }^{2}-phi -1=0}

找出該方程的正解，

ϕ=1+52=1.6180339887…{displaystyle phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887ldots }

黄金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618...的倒數為0.618…=1.618…−1{displaystyle 0.618ldots =1.618ldots -1}，並時常被稱為「黃金比例共軛」^[6]。

從上面的1+1ϕ=ϕ{displaystyle 1+{frac {1}{phi }}=phi }得到：

1ϕ=ϕ−1{displaystyle {1 over phi }=phi -1}

這個0.618...的數值常用希臘字母Φ{displaystyle Phi }表示，即：

Φ=1ϕ=11.6180339887…=0.6180339887…{displaystyle Phi ={1 over phi }={1 over 1.61803,39887ldots }=0.6180339887ldots }，亦可表達為：

Φ=ϕ−1=1.6180339887…−1=0.6180339887…{displaystyle Phi =phi -1=1.6180339887ldots -1=0.6180339887ldots }

替代或其他形式

藉由有限連分數或者斐波納契數列的比例中看出近似於黃金比例的倒數。

公式φ=1+1φ{displaystyle varphi =1+{frac {1}{varphi }}}可以被遞歸擴展來獲得黃金比例的連分數^[7]：

φ=[1;1,1,1,…]=1+11+11+11+⋱{displaystyle varphi =[1;1,1,1,dots ]=1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}}

而它的倒數是：

φ−1=[0;1,1,1,…]=0+11+11+11+⋱{displaystyle varphi ^{-1}=[0;1,1,1,dots ]=0+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}}

平方根表示：

ϕ=1+1+1+1+...{displaystyle phi ={sqrt {1+{sqrt {1+{sqrt {1+{sqrt {1+...}}}}}}}}}

以三角函數的特殊值表示^[8]：

φ=138+∑n=0∞(−1)(n+1)(2n+1)!(n+2)!n!4(2n+3).{displaystyle varphi ={frac {13}{8}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}.}

即是：

φ=1+2sin⁡(π/10)=1+2sin⁡18∘{displaystyle varphi =1+2sin(pi /10)=1+2sin 18^{circ }}

φ=12csc⁡(π/10)=12csc⁡18∘{displaystyle varphi ={1 over 2}csc(pi /10)={1 over 2}csc 18^{circ }}

φ=2cos⁡(π/5)=2cos⁡36∘{displaystyle varphi =2cos(pi /5)=2cos 36^{circ }}

φ=2sin⁡(3π/10)=2sin⁡54∘.{displaystyle varphi =2sin(3pi /10)=2sin 54^{circ }.}

黃金分割數高精度計算編程

#include <iostream>

#include <stdio.h>

using namespace std;

int main (void)

{

    long b,c,d=0,e=0,f=100,i=0,j,N;

    cout<<"请输入黄金分割数位数n";

    cin>>N,N=N*3/2+6;

    long *a=new long[N+1];

    while(i<=N)a[i++]=1;

    for(; --i>0; i==N-6?printf("r0.61"):printf("%02ld",e+=(d+=b/f)/f),e=d%f,d=b%f,i-=2)

        for(j=i,b=0; j; b=b/c*(j--*2-1))a[j]=(b+=a[j]*f)%(c=j*10);

    delete a,cin.ignore(),cin.ignore();

    return 0;

}

^[9]

例子

• 黄金分割点

• 
  

  

  
  

  
  

  黄金矩形
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  鹦鹉螺的内部结构
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  帕提農神庙
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  最后的晚餐
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  联合国总部大楼
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  向日葵
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  蝴蝶花紋
  

  
  

  
  

貴金屬分割

貴金屬分割即n+n2+42{displaystyle {frac {n+{sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}，其中n{displaystyle n}为正整数。n=1{displaystyle n=1}时为黄金分割（1+52{displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}），n=2{displaystyle n=2}时为白银分割（1+2{displaystyle 1+{sqrt {2}}}），n=3{displaystyle n=3}时为青铜分割（3+132{displaystyle {frac {3+{sqrt {13}}}{2}}}）。用连分数可表示为n+1n+1n+1n+1⋱=[n;n,n,n,n,…]{displaystyle n+{cfrac {1}{n+{cfrac {1}{n+{cfrac {1}{n+{cfrac {1}{ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,dots ]}

参考文献

引用

来源

延伸读物

外部链接

• 
  維基共享資源中与黄金分割率相關的分類

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