动能
車子在斜坡上的位置不同，其動能與势能（位能）亦不相同。
动能是物质运动时所得到的能量。它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m2·s-2）[1]。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。
目录
1 经典力学
1.1 推导与定义
1.2 自转的物体
2 相对论
2.1 極限
3 参考文献
4 參見
经典力学
在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是：
- Ek=12mv2{displaystyle E_{k}={frac {1}{2}}mv^{2}}
其中Ek{displaystyle E_{k}}
而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上
一个物体的动能与動量的关系为：
- Ek=p22m{displaystyle E_{k}={frac {p^{2}}{2m}}}
其中Ek{displaystyle E_{k}}
推导与定义
我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。
- W=∫F→⋅ds→{displaystyle W=int {vec {F}}cdot d{vec {s}}}
其中W{displaystyle W}
根据牛顿第二定律，
- F→=dp→dt{displaystyle {vec {F}}={frac {d{vec {p}}}{dt}}}
其中F→{displaystyle {vec {F}}}
动量、速度与质量的关系为：
- p→=mv→{displaystyle {vec {p}}=m{vec {v}}}
其中p→{displaystyle {vec {p}}}
在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。
- W=∫dp→dt⋅ds→=∫mdv→dt⋅ds→=∫mv→⋅dv→=12∫md(v→⋅v→)=12mv2+C0{displaystyle W=int {frac {d{vec {p}}}{dt}}cdot d{vec {s}}=int m{frac {d{vec {v}}}{dt}}cdot d{vec {s}}=int m{vec {v}}cdot d{vec {v}}={frac {1}{2}}int md({vec {v}}cdot {vec {v}})={frac {1}{2}}mv^{2}+C_{0}}
其中W{displaystyle W}
- Ek=12mv2{displaystyle E_{k}={frac {1}{2}}mv^{2}}
其中Ek{displaystyle E_{k}}
自转的物体
如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。
- Er=12∫v2dm=12∫r2ω2dm=12ω2∫r2dm=12Iω2{displaystyle E_{r}={frac {1}{2}}int v^{2}dm={frac {1}{2}}int r^{2}omega ^{2}dm={frac {1}{2}}omega ^{2}int r^{2}dm={frac {1}{2}}Iomega ^{2}}
其中Er{displaystyle E_{r}}
相对论
在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。
使用m{displaystyle m}
分部积分得到
- Ek=∫v⋅dp=∫v⋅d(mγv)=mγv⋅v−∫mγv⋅dv=mγv2−m2∫γd(v2){displaystyle E_{text{k}}=int mathbf {v} cdot dmathbf {p} =int mathbf {v} cdot d(mgamma mathbf {v} )=mgamma mathbf {v} cdot mathbf {v} -int mgamma mathbf {v} cdot dmathbf {v} =mgamma v^{2}-{frac {m}{2}}int gamma d(v^{2})}
回忆γ=(1−v2/c2)−1/2{displaystyle gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}!}
- Ek=mγv2−−mc22∫γd(1−v2/c2)=mγv2+mc2(1−v2/c2)1/2−E0{displaystyle {begin{aligned}E_{text{k}}&=mgamma v^{2}-{frac {-mc^{2}}{2}}int gamma d(1-v^{2}/c^{2})\&=mgamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}end{aligned}}}
其中E0{displaystyle E_{0}}
于是:
- Ek=mγ(v2+c2(1−v2/c2))−E0=mγ(v2+c2−v2)−E0=mγc2−E0{displaystyle {begin{aligned}E_{text{k}}&=mgamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\&=mgamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\&=mgamma c^{2}-E_{0}end{aligned}}}
通过观察v=0, γ=1{displaystyle mathbf {v} =0, gamma =1!}
- E0=mc2{displaystyle E_{0}=mc^{2},}
并给出通常的公式
- Ek=mγc2−mc2=mc21−v2/c2−mc2{displaystyle E_{text{k}}=mgamma c^{2}-mc^{2}={frac {mc^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}
極限
- limv→cEk=∞{displaystyle lim _{vrightarrow c}E_{text{k}}=infty }
當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。
利用泰勒公式：
- Ek=mc21−(v/c)2−mc2=mc2(1+12v2/c2+38v4/c4+⋯)−mc2=mc2+mv22+38mv4/c2+⋯−mc2≈12mv2{displaystyle {begin{aligned}E_{text{k}}&={frac {mc^{2}}{sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\&=mc^{2}(1+{frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+cdots )-mc^{2}\&=mc^{2}+{frac {mv^{2}}{2}}+{frac {3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+cdots -mc^{2}\&approx {frac {1}{2}}mv^{2}end{aligned}}}
低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。
参考文献
^ 1.01.1 赵志敏. 高中物理竞赛教程.基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月: P139. ISBN 978-7-309-08251-7.
參見
势能（又称"位能"）- 机械能
- 能量
- 相对论
- 牛顿运动定律
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