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在物理学和化学中，朗德g{displaystyle g}因子是阿尔佛雷德·朗德试图解释反常塞曼效应时，于1921年提出的一个无量纲物理量^[1][2][3][4]，反映了塞曼效应中磁矩与角动量之间的联系。其定义后来被推广到其它领域，在粒子物理学中常常被简称为g{displaystyle g}因子。

塞曼效应

塞曼效应中的朗德g{displaystyle g}因子由下式给出^[5]

gJ=1+J(J+1)−L(L+1)+S(S+1)2J(J+1){displaystyle g_{J}=1+{frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}

式中L,S,J{displaystyle L,S,J}分别是原子能态（光谱支项）的角量子数、自旋量子数和内量子数。

导引

朗德假定^[6]，当两个角动量Lℏ{displaystyle mathbf {L} hbar }与Sℏ{displaystyle mathbf {S} hbar }耦合时，它们的相互作用能由下式给出：

Einteraction=Γ(L⋅S),Γ constant{displaystyle E_{text{interaction}}=Gamma (mathbf {L} cdot mathbf {S} ),quad Gamma ,{text{ constant}}}

令

Jℏ=Lℏ+Sℏ{displaystyle mathbf {J} hbar =mathbf {L} hbar +mathbf {S} hbar }

为耦合后的总角动量，则可以证明^[6]，在上述形式的相互作用能下，Lℏ{displaystyle mathbf {L} hbar }与Sℏ{displaystyle mathbf {S} hbar }将绕向量Jℏ{displaystyle mathbf {J} hbar }进动。

在外加磁场的作用下，带电粒子的角动量会绕外加磁场的方向进动。在这种情况下，是Jℏ{displaystyle mathbf {J} hbar }进行进动。朗德采用了一种简化处理的方法，即认为外磁场中的原子的能量仅仅与向量Lℏ{displaystyle mathbf {L} hbar }与Sℏ{displaystyle mathbf {S} hbar }的长时间平均值有关，而后者恰好就是它们在Jℏ{displaystyle mathbf {J} hbar }方向上的投影，即^[6]

(L)av=J(L⋅J)J2,(S)av=J(S⋅J)J2{displaystyle (mathbf {L} )_{text{av}}={frac {mathbf {J} (mathbf {L} cdot mathbf {J} )}{J^{2}}},quad (mathbf {S} )_{text{av}}={frac {mathbf {J} (mathbf {S} cdot mathbf {J} )}{J^{2}}}}

随后，朗德进一步假定，角动量Lℏ{displaystyle mathbf {L} hbar }贡献的磁能（英语：magnetic energy）由经典的公式给出，并假定Jℏ{displaystyle mathbf {J} hbar }是量子化的，其沿着磁场方向的分量由磁量子数M{displaystyle M}确定，即

Emagnetic,L=−μ⋅B=(e2m(L)avℏ)⋅B=(L)av⋅BμB=M(L⋅J)J2μBB{displaystyle E_{{text{magnetic}},L}=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} =left({frac {e}{2m}}(mathbf {L} )_{text{av}}hbar right)cdot mathbf {B} =(mathbf {L} )_{text{av}}cdot mathbf {B} mu _{B}={frac {M(mathbf {L} cdot mathbf {J} )}{J^{2}}}mu _{B}B}

式中μ{displaystyle {boldsymbol {mu }}}是磁矩，而μB{displaystyle mu _{B}}為波耳磁子。类似地，朗德写出了角动量Sℏ{displaystyle mathbf {S} hbar }带来的能量贡献，但他发现为了与实验结果相一致，需要加上额外的因子2。当时朗德并不清楚为什么^[6]，现在我们知道这就是电子的自旋g{displaystyle g}因子。即：

Emagnetic,S=M(S⋅J)J22μBB{displaystyle E_{{text{magnetic}},S}={frac {M(mathbf {S} cdot mathbf {J} )}{J^{2}}}2mu _{B}B}

将上面结果加起来，朗德得到下列的表达式，并引入符号g{displaystyle g}^[6]，这就是朗德g{displaystyle g}因子的最早来源：

Emagnetic=M[(L+2S)⋅J]J2μBB=gMμBB{displaystyle E_{text{magnetic}}={frac {M[(mathbf {L} +2mathbf {S} )cdot mathbf {J} ]}{J^{2}}}mu _{B}B=gMmu _{B}B}

利用关系式L{displaystyle mathbf {L} }+2S{displaystyle 2mathbf {S} }=J{displaystyle mathbf {J} }+S{displaystyle mathbf {S} }，朗德得到：

g=(L+2S)⋅JJ2=1+S⋅JJ2=1+J2−L2+S22J2{displaystyle g={frac {(mathbf {L} +2mathbf {S} )cdot mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{frac {mathbf {S} cdot mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{frac {J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}}}}

但是，朗德发现，为了与实验结果相符，这一表达式需要修改为下式，当时朗德并不清楚原因^[6]。现在来看，只要将上面的角动量矢量都作为算符来处理，然后将对应的角动量平方算符用其本征值取代，得出这个结果是很自然的。

g=1+J(J+1)−L(L+1)+S(S+1)2J(J+1){displaystyle g=1+{frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}

推广

从上面的导引可见，定义朗德g{displaystyle g}因子的式子是

Emagnetic=gMμBB{displaystyle E_{text{magnetic}}=gMmu _{B}B}

上式可以等价地表述为^{[註 1]}：

μJ=ge2mJ{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{J}=g{frac {e}{2m}}mathbf {J} }

很自然的推广是将两边的J{displaystyle J}同时换成L,S{displaystyle L,S}等，并对不同的粒子将m{displaystyle m}换成对应粒子的质量。这就是现在广泛使用的朗德g{displaystyle g}因子。

粒子物理学

粒子物理学中的g{displaystyle g}因子是自旋g{displaystyle g}因子，根据自旋角动量和自旋磁矩按照上面的形式定义。

电子

上面的导引已经给出了电子自旋g{displaystyle g}因子的定义。在实际使用中，它的符号有两种取法，用不同的符号表记：

ge≈−2.002319,gS=|ge|=−ge{displaystyle g_{rm {e}}approx -2.002319,g_{S}=|g_{rm {e}}|=-g_{rm {e}}}

歷史沿革

歷史上，它的理論值有過變動：

• 在非相對論量子力學理論下考慮自旋-軌道作用時，等效地說，gs{displaystyle g_{s}}為1。
  
  • 若再額外考慮狹義相對論時間展長效應下的湯瑪斯進動修正（1927年），gs{displaystyle g_{s}}變為2，方合乎當代實驗觀測值。
  
  


• 在相對論量子力學，也就是指保羅·狄拉克所提出的理論（1928年），gs{displaystyle g_{s}}恰恰為2；並不如前者採外加修正的方法，是具有一致性的理論可導出的自然結果。


• 在量子電動力學（QED）中，因為電子與真空能量的電磁漲落交互作用，可表為單環費因曼圖，提出QED的朱利安·施温格等人（1947年）所得的gs{displaystyle g_{s}}理論值为(2+α2π+O(α2))≈2.002 319 304 402{displaystyle left(2+{frac {alpha }{2pi }}+O(alpha ^{2})right)approx 2.002 319 304 402}^[7]；α目前被視為是自然常數之一，其值約為1137.035 999 11(46){displaystyle {frac {1}{137.035 999 11(46)}}}。

威利斯·蘭姆等人實驗觀測到的蘭姆位移效應，所得gs{displaystyle g_{s}}觀測值为2.002 319 304 376 8(86){displaystyle 2.002 319 304 376 8(86)}，與理論相符精準度達小數點下第9位，展現出量子電動力學等現代物理理論所能達到的驚人精準預測程度。

其它粒子

一些粒子的朗德g{displaystyle g}因子列表如下：

NIST 提供的朗德g{displaystyle g}因子的值^[8]

粒子	朗德g{displaystyle g}因子	Δg
电子	-2.002 319 304 361 53	0.000 000 000 000 53
中子	-3.826 085 45	0.000 000 90
质子	5.585 694 713	0.000 000 046
μ子	-2.002 331 8418	0.000 000 0013

注釋

參考文獻

参见

• 波耳磁子


• 湯瑪斯進動


• 量子電動力學


• 電子自旋共振