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模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動。

此文是关于布朗运动。对于随机的过程，请参阅 维纳过程。从热力学的角度定义的话，需要参阅热力学温度以及能量均分定理。对于数学模型，请参阅随机游走。

粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。

布朗运动（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在西元1827年^[1]英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是有水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10^-8厘米。

定義

自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：^[2]

1. 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。


2. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。


3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。


4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。


5. 粒子的運動永不停止。

對於布朗運動之誤解

值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。

花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。

在日本，以鶴田憲次『物理学叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辞典』^[3]、花輪重雄『物理学読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理学原論（上）』、平凡社『理科辞典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。

愛因斯坦的理論

在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。^{[4][來源請求]} 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 10¹⁴ 次撞击。^[5] 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动^{[來源請求]}。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（Δ{displaystyle Delta } 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 φ(Δ){displaystyle varphi (Delta )}。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。

ρ(x,t)+τ∂ρ(x)∂t+⋯=ρ(x,t+τ)=∫−∞+∞ρ(x+Δ,t)⋅φ(Δ)dΔ=ρ(x,t)⋅∫−∞+∞φ(Δ)dΔ+∂ρ∂x⋅∫−∞+∞Δ⋅φ(Δ)dΔ+∂2ρ∂x2⋅∫−∞+∞Δ22⋅φ(Δ)dΔ+⋯=ρ(x,t)⋅1+0+∂2ρ∂x2⋅∫−∞+∞Δ22⋅φ(Δ)dΔ+⋯{displaystyle {begin{aligned}rho (x,t)+tau {frac {partial rho (x)}{partial t}}+cdots =rho (x,t+tau )={}&int _{-infty }^{+infty }rho (x+Delta ,t)cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta \={}&rho (x,t)cdot int _{-infty }^{+infty }varphi (Delta ),dDelta +{frac {partial rho }{partial x}}cdot int _{-infty }^{+infty }Delta cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta \&{}+{frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2}}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta +cdots \={}&rho (x,t)cdot 1+0+{frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2}}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta +cdots end{aligned}}}

第一行中的第二个等式是被 φ{displaystyle varphi } 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

∂ρ∂t=∂2ρ∂x2⋅∫−∞+∞Δ22τ⋅φ(Δ)dΔ+(更 高 阶 的 项 ){displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}={frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2,tau }}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta +{text{(更 高 阶 的 项 )}}}

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 Δ{displaystyle Delta }，让 D 为质量扩散系数：

D=∫−∞+∞Δ22τ⋅φ(Δ)dΔ{displaystyle D=int _{-infty }^{+infty }{frac {Delta ^{2}}{2,tau }}cdot varphi (Delta ),mathrm {d} Delta }

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

∂ρ∂t=D⋅∂2ρ∂x2,{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}=Dcdot {frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}},}

假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

ρ(x,t)=ρ04πDte−x24Dt.{displaystyle rho (x,t)={frac {rho _{0}}{sqrt {4pi Dt}}}e^{-{frac {x^{2}}{4Dt}}}.}

数学模型

定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

1. 这个鞅是关于时间连续的。


2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

(Mt){displaystyle (M_{t})}是一个布朗运动当且仅当(Mt){displaystyle (M_{t})}为鞅，且(Mt2−t){displaystyle (M_{t}^{2}-t)}也为鞅.

其他定义

3000步的2维布朗运动的模拟。

播放媒体

1000步的3维布朗运动模拟。

一维的定义

一维布朗运动(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量Bt−Bs{displaystyle scriptstyle B_{t}-B_{s}}独立于时间s前的过程(Bu)0≤u≤s{displaystyle scriptstyle (B_{u})_{0leq uleq s}}。


2. （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量Bt−Bs{displaystyle scriptstyle B_{t}-B_{s}}服从均值为0方差为t−s的正态分布。


3. 
   (Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数t↦Bt(ω){displaystyle scriptstyle tmapsto B_{t}(omega )}是连续的.


4. 通常假设B0=0{displaystyle scriptstyle B_{0}=0}。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. 
   (Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：t1≤t2≤...≤tn{displaystyle scriptstyle t_{1}leq t_{2}leq ...leq t_{n}},随机向量：(Bt1,Bt2,...,Btn){displaystyle scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}服从高维高斯分布（正态分布）。


2. 
   (Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}几乎处处连续。


3. 对于所有s和t,均值E[Bt]=0{displaystyle scriptstyle mathbb {E} [B_{t}]=0}，协方差E[BsBt]=min(s,t){displaystyle scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}.

高维定义

(Bt)t≥0:=(Bt1,Bt2,...,Btd)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}:=left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}right)_{tgeq 0}}是d维布朗运动，只需满足B1,B2,...,Bd{displaystyle scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于Rd{displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{d}}，而它在R,R2,...,Rd−1{displaystyle scriptstyle mathbb {R} ,mathbb {R} ^{2},...,mathbb {R} ^{d-1}}空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设C(R+,R){displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )}为从R+{displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{+}}到R{displaystyle scriptstyle mathbb {R} }的连续函数空间，(Ω,T,P){displaystyle scriptstyle (Omega ,{mathcal {T}},mathbb {P} )}为概率空间。布朗运动为映射

B:Ω⟶C(R+,R){displaystyle B:Omega longrightarrow C(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )}

          ω↦(t↦Bt(ω)){displaystyle omega mapsto left(tmapsto B_{t}(omega )right)}.

Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为W(dω){displaystyle scriptstyle W(domega )},是映射B关于P(dω){displaystyle scriptstyle mathbb {P} (domega )}的图测度。

换句话说， W是C(R+,R){displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )}上的一个概率测度，满足对于任何A⊂C(R+,R){displaystyle scriptstyle Asubset {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )}，有

W(A)=P((Bt)t≥0∈A){displaystyle W(A)=mathbb {P} ((B_{t})_{tgeq 0}in A)}。

备忘

• 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。


• 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。


• 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为t{displaystyle t}的随机过程为布朗运动。

性质

• 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何ω∈Ω{displaystyle scriptstyle omega in Omega },轨道t↦Bt(ω){displaystyle scriptstyle tmapsto B_{t}(omega )}为一个连续但是零可微的函数。


• 协方差E[BsBt]=min(s,t){displaystyle scriptstyle mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}。


• 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件[T<∞]{displaystyle scriptstyle [T<infty ]},过程(BtT)t≥0:=(BT+t−BT)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t}^{T})_{tgeq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{tgeq 0}}为一个独立于(Bs)0≤s<T{displaystyle scriptstyle (B_{s})_{0leq s<T}}的布朗运动。


• 它的Fourier变换或特征函数为E[eiuBt]=e−tu22{displaystyle scriptstyle mathbb {E} left[e^{iuB_{t}}right]=e^{-{frac {tu^{2}}{2}}}}。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。


• 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, (Bt+s−Bs)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{tgeq 0}}是一个独立于(Bu)0≤u≤s{displaystyle scriptstyle (B_{u})_{0leq uleq s}}的布朗运动。


• -B是一个布朗运动。


• （稳定性） 对于c > 0， (cBtc2)t≥0{displaystyle scriptstyle left(cB_{frac {t}{c^{2}}}right)_{tgeq 0}}是布朗运动。


• （时间可逆性）(tB1t)t>0{displaystyle scriptstyle left(tB_{frac {1}{t}}right)_{t>0}}在t=0之外是布朗运动。


• （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：

      如果d∈{1,2}{displaystyle scriptstyle din {1,2}},集合{t≥0,Bt=x}{displaystyle scriptstyle {tgeq 0,B_{t}=x}}不是有界的，对于任何x∈Rd{displaystyle scriptstyle xin mathbb {R} ^{d}}，

      如果d≥3,limt→∞||Bt||=+∞{displaystyle scriptstyle dgeq 3,,,,lim _{trightarrow infty }||B_{t}||=+infty }（几乎处处）。

• （反射原理）

P[sup0≤s≤tBs≥a]=2P[Bt≥a]=P[|Bt|≥a].{displaystyle mathbb {P} [sup _{0leq sleq t}B_{s}geq a]=2mathbb {P} [B_{t}geq a]=mathbb {P} [|B_{t}|geq a].}

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

设(ft)t∈R+{displaystyle (f_{t})_{tin {mathbb {R} }_{+}}}为L2(R+){displaystyle L^{2}({mathbb {R} }_{+})}空间中一列实值函数。设：

∀(u,v)∈R+, s(u,v)=⟨fu,fv⟩L2(R+)=∫R+fu(x)fv(x)dx{displaystyle forall (u,v)in {mathbb {R} }_{+}{text{, }}s(u,v)={langle f_{u},f_{v}rangle }_{L^{2}({mathbb {R} }_{+})}=int _{mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx}

这列函数满足：

∀k∈N∗{displaystyle forall kin mathbb {N} ^{*}}，任意的t1,...,tk∈R+{displaystyle t_{1},...,t_{k}in mathbb {R} _{+}},矩阵(s(ti,tj))1≤i,j≤k{displaystyle left(s(t_{i},t_{j})right)_{1leq i,jleq k}}为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程{Yt}t∈R+{displaystyle {Y_{t}}_{tin mathbb {R} _{+}}}，它的均值m{displaystyle m}任意， 协方差为上面定义的s{displaystyle s}。

当(ft)t∈R+=(c.11[0,t])t∈R+{displaystyle (f_{t})_{tin {mathbb {R} }_{+}}=left({sqrt {c}}.1!!1_{[0,t]}right)_{tin mathbb {R} _{+}}}，c>0{displaystyle c>0}为不依赖于t的常数，11[0,t]{displaystyle 1!!1_{[0,t]}}为[0,t]{displaystyle [0,t]}上的示性函数。则：

s(u,v)=c∫R11[0,u](s)11[0,v](s)ds=c.min(u,v){displaystyle s(u,v)=cint limits _{mathbb {R} }1!!1_{[0,u]}(s)1!!1_{[0,v]}(s)ds={text{c.min}}(u,v)}

在这个情况下，矩阵(s(ti,tj))1≤i,j≤k{displaystyle left(s(t_{i},t_{j})right)_{1leq i,jleq k}}是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。c=Var(B1){displaystyle c=Var(B_{1})}，当c=1{displaystyle c=1}时， 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

(1σn(∑k=1[nt]Uk+(nt−[nt])U[nt]+1))0≤t≤1⟹n→∞(Bt)0≤t≤1{displaystyle left({frac {1}{sigma {sqrt {n}}}}left(sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}right)right)_{0leq tleq 1}{underset {nrightarrow infty }{Longrightarrow }}(B_{t})_{0leq tleq 1}}

其中（U_n, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态N(0,1){displaystyle scriptstyle {mathcal {N}}(0,1)}随机变量序列(Nk,k∈N){displaystyle scriptstyle (N_{k},kin mathbb {N} )}和(Nk′,k∈N){displaystyle scriptstyle (N'_{k},kin mathbb {N} )}。定义(Bt)t≥0{displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}}：

Bt:=tN0+∑k=1+∞22πk(Nkcos⁡(2πkt−1)+Nk′sin⁡(2πkt)){displaystyle B_{t}:=tN_{0}+sum _{k=1}^{+infty }{frac {sqrt {2}}{2pi k}}left(N_{k}cos(2pi kt-1)+N_{k}'sin(2pi kt)right)}

为布朗运动。

参见

• 维纳过程

腳註

外部連結

• 漫談布朗運動

https://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion

查 论 编 分形 特性 分形维数 Assouad 维数（英语：Assouad dimension） 关联维数（英语：Correlation dimension） 豪斯多夫维数 计盒维数 填充维数（英语：Packing dimension） 拓撲維數 递归 自相似 Barnsley fern（英语：Barnsley fern） 迭代函数系统 巴恩斯利蕨葉（英语：Barnsley fern） 康托尔集 龍形曲線 科赫雪花 门格海绵 谢尔宾斯基地毯 謝爾賓斯基三角形 空間填充曲線（英语：Space-filling curve） T型方間（英语：T-square (fractal)） 魏尔斯特拉斯函数 單峰映象 萊維C形曲線 希爾伯特曲線 奇異吸子 多重分形系統（英语：Multifractal system） L系統 分形灌木（英语：Fractal canopy） H树 空間填充曲線（英语：Space-filling curve） 逃逸時間分形 曼德博集合 朱利亚集合 朱利亚填充集合（英语：Filled Julia set） 李亞普諾夫分形（英语：Lyapunov fractal） 牛頓分形（英语：Newton fractal） 燃燒巨輪分形（英语：Burning Ship fractal） 三角帽分形（英语：Tricorn (mathematics)） 渲染技术 Buddhabrot（英语：Buddhabrot） 轨迹陷阱（英语：Orbit trap） Pickover 杆（英语：Pickover stalk） 隨機分形 布朗运动 布朗樹（英语：Brownian tree） 分形地形（英语：Fractal landscape） 擴散限制凝聚（英语：Diffusion-limited aggregation） 萊維飛行（英语：Lévy flight） 曼德尔盒（英语：Mandelbox） 曼德尔球 逾滲理論（英语：Percolation theory） 自避行走（英语：Self-avoiding walk） 學者 格奥尔格·康托尔 费利克斯·豪斯多夫 加斯東·朱利亞（英语：Gaston Julia） 海里格·馮·科赫 保羅·皮埃爾·萊維 亞歷山大·李亞普諾夫 本華·曼德博 劉易斯·弗雷·理查森（英语：Lewis Fry Richardson） 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基 其他相關 “英國的海岸線有多長？” 海岸線悖論（英语：Coastline paradox） 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英语：List of fractals by Hausdorff dimension） 《分形之美（英语：The Beauty of Fractals）》 (1986) 分形艺术（英语：Fractal art） 《混沌学传奇（英语：Chaos: Making a New Science）》 (1987) 《大自然的分形几何学（英语：The Fractal Geometry of Nature）》 (1982) 分形压缩 仿射变换