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群论

群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 群同态 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 拓扑群 · 群概形 · 循环群 冪零群 · 可解群 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）

查 论 编

  「整型」重定向至此。關於以外科手術改變身體外觀，詳見「整形」。

整数，是序列{…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}{displaystyle {ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,ldots }}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體Z{displaystyle Z}或Z{displaystyle mathbb {Z} }，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整数与负整数

整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z⁺或Z+{displaystyle mathbb {Z} ^{+}}）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z−{displaystyle Z^{-}}或Z−{displaystyle mathbb {Z} ^{-}}）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z⁺₀或Z0+{displaystyle mathbb {Z} _{0}^{+}}），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z^-₀或Z0−{displaystyle mathbb {Z} _{0}^{-}}）。在数论中自然数通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代数性质

下表给出任何整数a,b,c{displaystyle a,b,c}的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	a+b{displaystyle a+b}是整数	a×b{displaystyle atimes b}是整数
结合律	a+(b+c)=(a+b)+c{displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}	a×(b×c)=(a×b)×c{displaystyle atimes (btimes c)=(atimes b)times c}
交换律	a+b=b+a{displaystyle a+b=b+a}	a×b=b×a{displaystyle atimes b=btimes a}
存在单位元	a+0=a{displaystyle a+0=a}	a×1=a{displaystyle atimes 1=a}
存在逆元	a+(−a)=0{displaystyle a+(-a)=0}	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数a{displaystyle a}关于乘法的逆元为1a{displaystyle {frac {1}{a}}}，都不为整数。
分配律	a×(b+c)=a×b+a×c{displaystyle atimes (b+c)=atimes b+atimes c}

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

Z{displaystyle mathbb {Z} }是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是Z{displaystyle mathbb {Z} }仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与(Z,+){displaystyle (mathbb {Z} ,+)}同构。

有序性质

Z是一个全序集，没有上界和下界。Z{displaystyle mathbb {Z} }的序列如下：

…<−2<−1<0<1<2<…{displaystyle ldots <-2<-1<0<1<2<ldots }

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

1. 若a<b{displaystyle a<b}且c<d{displaystyle c<d}，则a+c<b+d{displaystyle a+c<b+d}
   


2. 若a<b{displaystyle a<b}且c>0{displaystyle c>0}，则a∗c<b∗c{displaystyle a*c<b*c}；若c<0{displaystyle c<0}，则a∗c>b∗c{displaystyle a*c>b*c}.

整数环是一个欧几里德域。

電腦中的整數

Z{displaystyle mathbb {Z} }的基數

Z{displaystyle mathbb {Z} }的基數（或勢）是ℵ₀，與N{displaystyle mathbb {N} }相同。這可以從Z{displaystyle mathbb {Z} }建立一雙射函數到N{displaystyle mathbb {N} }來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

f(x)={2x+1,if x≥02|x|,if x<0{displaystyle f(x)={begin{cases}2x+1,&{mbox{if }}xgeq 0\2|x|,&{mbox{if }}x<0end{cases}}}

當該函數的定義域僅限於Z{displaystyle mathbb {Z} }，則證明Z{displaystyle mathbb {Z} }與N{displaystyle mathbb {N} }可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

参见

• 整數數列線上大全


• 超整數

查 论 编 分數 & 比率 除法 ＆比例 被除數 : 除數 = 商數 分數 分子/分母=商數 代數 Aspect 连分数 十进制 二进分数 古埃及分數 黄金分割率 白銀比例 整数 最简分数 精簡 最小公分母 音程 百分比 單位分數