积分变换
Multi tool use
積分變換（integral transform）是數學中作用于函数的算子，用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換﹑拉普拉斯變換等。
概述
以一變數為 t{displaystyle t}
- (Tf)(u)=∫t1t2K(t,u)f(t)dt{displaystyle (Tf)(u)=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u),f(t),dt}
其中 K{displaystyle K}
有些積分變換有相對應的反積分變換（inverse transform），使得
- f(t)=∫u1u2K−1(u,t)(Tf(u))du{displaystyle f(t)=int limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t),(Tf(u)),du}
而 K−1(u,t){displaystyle K^{-1}(u,t)}
積分變換表
| 積分變換 |
符號 |
核 K{displaystyle K} |
t1 |
t2 |
反核 K−1{displaystyle K^{-1}} |
u1 |
u2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
傅立葉變換 |
F{displaystyle {mathcal {F}}}  |
e−iut2π{displaystyle {frac {e^{-iut}}{sqrt {2pi }}}}  |
−∞{displaystyle -infty ,}  |
∞{displaystyle infty ,}  |
e+iut2π{displaystyle {frac {e^{+iut}}{sqrt {2pi }}}}  |
−∞{displaystyle -infty ,} |
∞{displaystyle infty ,} |
傅立葉正弦變換 |
Fs{displaystyle {mathcal {F}}_{s}}  |
2sin(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}sin {(ut)}}{sqrt {pi }}}}  |
0{displaystyle 0,}  |
∞{displaystyle infty ,} |
2sin(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}sin {(ut)}}{sqrt {pi }}}} |
0{displaystyle 0,} |
∞{displaystyle infty ,} |
傅立葉餘弦變換 |
Fc{displaystyle {mathcal {F}}_{c}}  |
2cos(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}cos {(ut)}}{sqrt {pi }}}}  |
0{displaystyle 0,} |
∞{displaystyle infty ,} |
2cos(ut)π{displaystyle {frac {{sqrt {2}}cos {(ut)}}{sqrt {pi }}}} |
0{displaystyle 0,} |
∞{displaystyle infty ,} |
Hartley变换 |
H{displaystyle {mathcal {H}}}  |
cos(ut)+sin(ut)2π{displaystyle {frac {cos(ut)+sin(ut)}{sqrt {2pi }}}}  |
−∞{displaystyle -infty ,} |
∞{displaystyle infty ,} |
cos(ut)+sin(ut)2π{displaystyle {frac {cos(ut)+sin(ut)}{sqrt {2pi }}}} |
−∞{displaystyle -infty ,} |
∞{displaystyle infty ,} |
Mellin变换 |
M{displaystyle {mathcal {M}}}  |
tu−1{displaystyle t^{u-1},}  |
0{displaystyle 0,} |
∞{displaystyle infty ,} |
t−u2πi{displaystyle {frac {t^{-u}}{2pi i}},}  |
c−i∞{displaystyle c!-!iinfty }  |
c+i∞{displaystyle c!+!iinfty }  |
双边拉普拉斯变换 |
B{displaystyle {mathcal {B}}}  |
e−ut{displaystyle e^{-ut},}  |
−∞{displaystyle -infty ,} |
∞{displaystyle infty ,} |
e+ut2πi{displaystyle {frac {e^{+ut}}{2pi i}}}  |
c−i∞{displaystyle c!-!iinfty } |
c+i∞{displaystyle c!+!iinfty } |
拉普拉斯变换 |
L{displaystyle {mathcal {L}}}  |
e−ut{displaystyle e^{-ut},} |
0{displaystyle 0,} |
∞{displaystyle infty ,} |
e+ut2πi{displaystyle {frac {e^{+ut}}{2pi i}}} |
c−i∞{displaystyle c!-!iinfty } |
c+i∞{displaystyle c!+!iinfty } |
魏尔斯特拉斯变换 |
W{displaystyle {mathcal {W}}}  |
e−(u−t)2/44π{displaystyle {frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{sqrt {4pi }}},}  |
−∞{displaystyle -infty ,} |
∞{displaystyle infty ,} |
e+(u−t)2/4i4π{displaystyle {frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{sqrt {4pi }}}}}  |
c−i∞{displaystyle c!-!iinfty } |
c+i∞{displaystyle c!+!iinfty } |
Hankel变换 |
tJν(ut){displaystyle t,J_{nu }(ut)}  |
0{displaystyle 0,} |
∞{displaystyle infty ,} |
uJν(ut){displaystyle u,J_{nu }(ut)}  |
0{displaystyle 0,} |
∞{displaystyle infty ,} |
|
阿贝尔积分变换 |
2tt2−u2{displaystyle {frac {2t}{sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}  |
u{displaystyle u,}  |
∞{displaystyle infty ,} |
−1πu2−t2ddu{displaystyle {frac {-1}{pi {sqrt {u^{2}!-!t^{2}}}}}{frac {d}{du}}}  |
t{displaystyle t,}  |
∞{displaystyle infty ,} |
|
希爾伯特轉換 |
Hil{displaystyle {mathcal {H}}il}  |
1π1u−t{displaystyle {frac {1}{pi }}{frac {1}{u-t}}}  |
−∞{displaystyle -infty ,} |
∞{displaystyle infty ,} |
1π1u−t{displaystyle {frac {1}{pi }}{frac {1}{u-t}}} |
−∞{displaystyle -infty ,} |
∞{displaystyle infty ,} |
泊松核 |
1−r21−2rcosθ+r2{displaystyle {frac {1-r^{2}}{1-2rcos theta +r^{2}}}}  |
0{displaystyle 0,} |
2π{displaystyle 2pi ,}  |
||||
狄拉克δ函数 |
δ(u−t){displaystyle delta (u-t),}  |
t1<u{displaystyle t_{1}<u,}  |
t2>u{displaystyle t_{2}>u,}  |
δ(t−u){displaystyle delta (t-u),}  |
u1<t{displaystyle u_{1}!<!t}  |
u2>t{displaystyle u_{2}!>!t}  |
在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。
|
ILDMOoqE3ivHj sge6prS,1eyd31 5hAPnbjdQxd0AugoDJqio3p BpEAR8rsF7z4K
