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在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r{displaystyle mathbf {r} ,!} 表示；而其大小則用 r{displaystyle r,!} 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，xμ{displaystyle {x}^{mu },!}或xμ{displaystyle {x}_{mu },!}。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，(x)2{displaystyle (x)^{2},!}表示x{displaystyle x,!}平方；而x2{displaystyle {x}^{2},!}是xμ{displaystyle {x}^{mu },!}的第二個分量。

在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 fμ{displaystyle f^{mu }} 以公式定義為

fμ =def (f,fn){displaystyle f^{mu } {stackrel {def}{=}} left(f,,fmathbf {n} right)} ；

其中，f{displaystyle f} 是電磁波的頻率，n{displaystyle mathbf {n} } 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

fμfμ=(f)2(1−n2)=0{displaystyle {f}^{mu }{f}_{mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0} 。

類似地，四維角頻率 ωμ{displaystyle omega ^{mu }} 以公式定義為

ωμ =def (ω,ωn){displaystyle omega ^{mu } {stackrel {def}{=}} left(omega ,,omega mathbf {n} right)} ；

其中，ω{displaystyle omega } 是電磁波的角頻率。

顯然地，

ωμ=2πfμ{displaystyle omega ^{mu }=2pi f^{mu }} 。

四維波向量 kμ{displaystyle {k}^{mu }} 與四維角頻率有密切的關係，定義為

kμ=(k,k){displaystyle {k}^{mu }=left(k,,mathbf {k} right)} ；

其中，k{displaystyle mathbf {k} } 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 diag(1,−1,−1,−1){displaystyle diag(1,-1,-1,-1)} ，這是参考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。

勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 S{displaystyle {mathcal {S}}} 、S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}} ；相對於參考系 S{displaystyle {mathcal {S}}} ，參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}} 以速度 v{displaystyle mathbf {v} } 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 Λνμ{displaystyle Lambda _{nu }^{mu }} 是^[1]

Λνμ=[γ−βxγ−βyγ−βzγ−βxγ1+(γ−1)βx2β2(γ−1)βxβyβ2(γ−1)βxβzβ2−βyγ(γ−1)βyβxβ21+(γ−1)βy2β2(γ−1)βyβzβ2−βzγ(γ−1)βzβxβ2(γ−1)βzβyβ21+(γ−1)βz2β2]{displaystyle Lambda _{nu }^{mu }={begin{bmatrix}gamma &-beta _{x},gamma &-beta _{y},gamma &-beta _{z},gamma \-beta _{x},gamma &1+(gamma -1){frac {beta _{x}^{2}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{x}beta _{y}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{x}beta _{z}}{beta ^{2}}}\-beta _{y},gamma &(gamma -1){frac {beta _{y}beta _{x}}{beta ^{2}}}&1+(gamma -1){frac {beta _{y}^{2}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{y}beta _{z}}{beta ^{2}}}\-beta _{z},gamma &(gamma -1){frac {beta _{z}beta _{x}}{beta ^{2}}}&(gamma -1){frac {beta _{z}beta _{y}}{beta ^{2}}}&1+(gamma -1){frac {beta _{z}^{2}}{beta ^{2}}}\end{bmatrix}}} ；

其中，γ=11−(vc)2{displaystyle gamma ={cfrac {1}{sqrt {1-left({frac {v}{c}}right)^{2}}}}} 是勞侖茲因子，β=vc{displaystyle beta ={frac {v}{c}}} 是貝他因子，βx{displaystyle beta _{x}} 、βy{displaystyle beta _{y}} 、βz{displaystyle beta _{z}} 分別是參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}} 對於參考系 S{displaystyle {mathcal {S}}} 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 vx{displaystyle v_{x}} 、vy{displaystyle v_{y}} 、vz{displaystyle v_{z}} 的貝他因子。

設定一個朝著 k^{displaystyle {hat {mathbf {k} }}} 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 S{displaystyle {mathcal {S}}} ，這平面電磁波以公式表達為

E=E0e−i(kμxμ)η^1{displaystyle mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{mu }x_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{1}} 、

B=B0e−i(kμxμ)η^2{displaystyle mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{mu }x_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{2}} ；

其中，E{displaystyle mathbf {E} } 、B{displaystyle mathbf {B} } 分別是電磁波的電場、磁場，E0{displaystyle E_{0}} 、B0{displaystyle B_{0}} 分別是其波幅，kμ{displaystyle k^{mu }} 是四維波向量，xμ=(ct,−x){displaystyle x_{mu }=(ct,-mathbf {x} )} 是四維位置，x{displaystyle mathbf {x} } 是位置，η^1{displaystyle {hat {boldsymbol {eta }}}_{1}} 、η^2{displaystyle {hat {boldsymbol {eta }}}_{2}} 分別垂直於 k^{displaystyle {hat {mathbf {k} }}} ，而且 η^2=k^×η^1{displaystyle {hat {boldsymbol {eta }}}_{2}={hat {mathbf {k} }}times {hat {boldsymbol {eta }}}_{1}} 。

那麼，對於參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}} ，這平面電磁波以公式表達為

E¯=E¯0e−i(k¯μx¯μ)η^1{displaystyle {overline {mathbf {E} }}={overline {E}}_{0}e^{-i({overline {k}}^{mu }{overline {x}}_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{1}} 、

B¯=B¯0e−i(k¯μx¯μ)η^2{displaystyle {overline {mathbf {B} }}={overline {B}}_{0}e^{-i({overline {k}}^{mu }{overline {x}}_{mu })}{hat {boldsymbol {eta }}}_{2}} 。

四維波向量 k¯μ{displaystyle {overline {k}}^{mu }} 與 kμ{displaystyle {k}^{mu }} 之間的關係為

k¯μ=Λνμkν{displaystyle {overline {k}}^{mu }=Lambda _{nu }^{mu }{k}^{nu }} 。

經過一番運算，可以求得

k¯=k¯0=γ(k−βxkx−βyky−βzkz)=kμvμ/c{displaystyle {overline {k}}={overline {k}}^{0}=gamma (k-beta _{x}k_{x}-beta _{y}k_{y}-beta _{z}k_{z})=k^{mu }v_{mu }/c} ；

其中，vμ=(γc,−γv){displaystyle v_{mu }=(gamma c,,-gamma mathbf {v} )} 是參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}} 相對於參考系 S{displaystyle {mathcal {S}}} 的四維速度，v{displaystyle mathbf {v} } 是參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}} 相對於參考系 S{displaystyle {mathcal {S}}} 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為

fμ=ckμ/2π{displaystyle f^{mu }=ck^{mu }/2pi } 。

所以，

f¯=f¯0=fμvμ/c{displaystyle {overline {f}}={overline {f}}^{0}=f^{mu }v_{mu }/c} 。

這也是參考系 S¯{displaystyle {overline {mathcal {S}}}} 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱

• 四維向量


• 電磁張量

參考文獻

• 
  Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84–90. ISBN 1852334266. 
  


• 
  Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)